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Chapitre III. Réductions et preuves
III.7.2 Les termes ρ
˜
G,E
J , variante
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un système
de fonctions B, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une donnée endoscopique elliptique
et relevante M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M ).
On suppose donné un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant un élément
∈ ˜
M
ss (F ) à un élément η ∈ ˜
M ss (F ). On suppose M
quasi-déployé. On note
O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
M
(F ) et O la classe de conjugaison
stable de η dans ˜
M (F ).
Proposition. On suppose que A M
= A M . Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B), tout δ ∈
D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A M (F ) en position générale et proche
de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
La preuve est identique. On n’a plus besoin de l’hypothèse (2) du paragraphe
précédent car, dans la situation quasi-déployée et à torsion intérieure, les triplets
endoscopiques non standard qui apparaissent sont triviaux. Ils vérifient évidemment la proposition 6.5.
III.7.3 Les termes σ J
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un système
de fonctions B, un espace de Levi ˜
M de ˜
G. On considère un élément η ∈ ˜
M (F ),
semi-simple et tel que M η soit quasi-déployé. On note O la classe de conjugaison
stable de η dans ˜
M (F ).
Proposition. On suppose A M = A Mη .
(i) Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), δ
∈ D
st
unip (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F )
en position générale et assez proche de 1. Posons δ = desc
st, ˜
M,∗
η
(δ
). On a
l’égalité
σ
˜
G
J (δ, a) =
e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ
, a)), si A G = A Gη ,
0,
sinon.
(ii) Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), σ
˜
G
J prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G,st
O
.
Preuve. On reprend la preuve de 7.1 dans le cas que l’on avait exclu, à savoir
M
= M. On prend pour diagramme un diagramme «trivial» (η, B
M , T, B
M , T, η).