III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
399
on obtient le produit des nombres d’éléments des noyaux des deux flèches descendantes. Ces nombres sont respectivement égaux au nombre d’éléments d de toute
fibre de la projection ˜
s → ¯
s et à i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))
−1 . On en déduit l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()(c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1 = d
−1 i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)),
puis
x(¯ s) = d
−1
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ;˜ s →¯ s
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)).
Puisque l’ensemble de sommation a d éléments, on obtient (14).
Grâce à (14), l’égalité (13) se transforme en
ξ =
¯
s∈ ¯
ζZ( ˆ ¯
M ad )
Γ F ,J∈J
¯
G (¯ s)
¯
M 횿
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))σ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a).
Soit y ∈ ˙
Y
M . En se rappelant la définition de [II] 3.8, on obtient
transfert y (ξ) = ρ
G η[y],SC ,E
J
( ¯
M
, ¯
δ, a).
Ici, les groupes ne sont pas tordus et on peut appliquer la proposition 1.4(ii). Le
terme ci-dessus n’est autre que ρ
G η[y],SC
J
(transfert y ( ¯
δ), a). On se rappelle que l’on
a supposé A ˜
G = A Gη . C’est équivalent à A ˜
G = A G η[y] puisque les deux groupes
G η et G η[y] sont formes intérieures l’un de l’autre. De même, on a supposé que J
provenait d’un élément de J
¯
G
¯
M
, ce qui équivaut à ce qu’il provienne d’un élément
de J
G η[y]
M η[y]
. On utilise 3.2(2) et le lemme 4.1. On obtient
desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
(ρ
G η[y],SC
J
(transfert y ( ¯
δ), a)) = ρ
˜
G
J (τ [y], a),
où
τ [y] = desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y ( ¯
δ).
L’égalité (10) devient
(15)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (τ , a),
où
τ =
y∈ ˙
Y M
c
M [y]τ [y].
A ce point, on peut lever l’hypothèse A ˜
G = A Gη et que J provient d’un élément
de J
¯
G
¯
M
. Si elle n’est pas vérifiée, le membre de gauche de (15) est nul d’après (12).
Celui de droite l’est aussi d’après le lemme 4.1.
Des calculs analogues à ceux effectués ci-dessus permettent de déduire de
5.4(3) l’égalité transfert(δ) = τ . On peut aussi plus simplement appliquer la relation (15) au cas ˜
G = ˜
M et à J = ∅. Cette relation devient dans ce cas l’égalité
précédente. Grâce à celle-ci, la relation (15) est l’égalité de l’énoncé.
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on obtient le produit des nombres d’éléments des noyaux des deux flèches descendantes. Ces nombres sont respectivement égaux au nombre d’éléments d de toute
fibre de la projection ˜
s → ¯
s et à i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))
−1 . On en déduit l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()(c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1 = d
−1 i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)),
puis
x(¯ s) = d
−1
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ;˜ s →¯ s
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)).
Puisque l’ensemble de sommation a d éléments, on obtient (14).
Grâce à (14), l’égalité (13) se transforme en
ξ =
¯
s∈ ¯
ζZ( ˆ ¯
M ad )
Γ F ,J∈J
¯
G (¯ s)
¯
M 횿
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))σ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a).
Soit y ∈ ˙
Y
M . En se rappelant la définition de [II] 3.8, on obtient
transfert y (ξ) = ρ
G η[y],SC ,E
J
( ¯
M
, ¯
δ, a).
Ici, les groupes ne sont pas tordus et on peut appliquer la proposition 1.4(ii). Le
terme ci-dessus n’est autre que ρ
G η[y],SC
J
(transfert y ( ¯
δ), a). On se rappelle que l’on
a supposé A ˜
G = A Gη . C’est équivalent à A ˜
G = A G η[y] puisque les deux groupes
G η et G η[y] sont formes intérieures l’un de l’autre. De même, on a supposé que J
provenait d’un élément de J
¯
G
¯
M
, ce qui équivaut à ce qu’il provienne d’un élément
de J
G η[y]
M η[y]
. On utilise 3.2(2) et le lemme 4.1. On obtient
desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
(ρ
G η[y],SC
J
(transfert y ( ¯
δ), a)) = ρ
˜
G
J (τ [y], a),
où
τ [y] = desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y ( ¯
δ).
L’égalité (10) devient
(15)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (τ , a),
où
τ =
y∈ ˙
Y M
c
M [y]τ [y].
A ce point, on peut lever l’hypothèse A ˜
G = A Gη et que J provient d’un élément
de J
¯
G
¯
M
. Si elle n’est pas vérifiée, le membre de gauche de (15) est nul d’après (12).
Celui de droite l’est aussi d’après le lemme 4.1.
Des calculs analogues à ceux effectués ci-dessus permettent de déduire de
5.4(3) l’égalité transfert(δ) = τ . On peut aussi plus simplement appliquer la relation (15) au cas ˜
G = ˜
M et à J = ∅. Cette relation devient dans ce cas l’égalité
précédente. Grâce à celle-ci, la relation (15) est l’égalité de l’énoncé.