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Chapitre III. Réductions et preuves
(12) ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = 0 si A ˜
G = A Gη ou si A ˜
G = A Gη et J ne provient pas d’un
élément de J
¯
G
¯
M
.
Supposons que A ˜
G = A Gη et que J provienne d’un élément de J
¯
G
¯
M
. Alors la
définition (11) se transforme en
(13)
ξ =
¯
s∈ ¯
SJ
x(¯ s)σ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a),
où
x(¯ s) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ;˜ s →¯ s
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()(c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1 .
Soit ¯
s ∈ ¯
S J . Montrons que
(14)
x(¯ s) = i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)).
Pour ˜
s se projetant sur ¯
s, on a le diagramme commutatif
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
Z( ˆ ¯
M )
ΓF /Z( ˆ ¯
G)
ΓF
Z( ˆ
M
(˜ s) ad )
ΓF
Z( ˆ ¯
M ad )
ΓF
↓
↓
Z( ˆ
M
(˜ s) ,ad )
ΓF
Z( ˆ ¯
M
)
ΓF /Z( ˆ ¯
G
(¯ s))
ΓF
↓
↓
Z( ˆ ¯
M
(¯ s) ad )
ΓF
=
Z( ˆ ¯
M
(¯ s) ad )
ΓF .
La flèche du bas à gauche se déduit de l’homomorphisme ˆ
T
ˆ
θ,0
→ ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
En utilisant la description des systèmes de racines de [79] 3.3, on voit que l’image
réciproque par cet homomorphisme d’une racine de ˆ ¯
G
(¯ s) ou de ˆ ¯
M
est un multiple
entier d’une racine de ˆ
G
(˜ s) ou de ˆ
M
. Il en résulte que cet homomorphisme envoie
Z( ˆ
G
(˜ s) )
ΓF dans Z( ˆ ¯
G(¯ s))
ΓF et Z( ˆ
M
)
ΓF dans Z( ˆ ¯
M
)
ΓF . Dans le diagramme cidessus, tous les quotients sont connexes, les flèches sont donc surjectives. Calculons
le nombre d’éléments du noyau de la flèche composée
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M
(¯ s) ad )
ΓF .
Si on utilise le chemin de gauche, on obtient le produit des nombres d’éléments des
noyaux des trois flèches descendantes. Ces nombres sont respectivement égaux à
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
−1 , e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()
−1 et c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
. Si on utilise le chemin de droite,