III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
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Soit Y ∈ m
(F ) en position générale et elliptique. Il lui correspond par la
construction de 5.1 des éléments ¯
Y , X[y] sc et X[y]. Dans le cas y = 1, on note ce
dernier terme X. Normalisons le facteur Δ(¯ s, y) par l’égalité
(8)
Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y ), exp(X sc [y])) = Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y]).
On a
(9)
d(˜ s)d(˜ s, y) = 1 pour tout y ∈ ˙
Y
M .
Par 5.4(1), on a
d(˜ s, y) =
Δ(˜ s) 1 (exp(Y ) 1 (˜ s), exp(X[y])η[y])
Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y ), exp(X sc [y]))
=
Δ(˜ s) 1 (exp(Y ) 1 (˜ s), exp(X[y])η[y])
Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])
.
C’est un rapport de facteurs de transfert pour deux séries de données auxiliaires
relatives à la même donnée M
de (M, ˜
M , a). Ils se transforment de la même façon
par conjugaison stable en la deuxième variable. On peut donc remplacer dans le
dernier terme l’élément exp(X[y])η[y] par l’élément stablement conjugué exp(X)η.
L’égalité (9) résulte alors de 5.5(2).
On se rappelle que l’on a supposé que J provenait d’un élément de
J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O ), ce qui entraîne qu’il provient d’un élément de J
G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(B
˜
G
O ). Il
revient au même de dire qu’il provient d’un élément de J
G
(˜ s)
M
(B
˜
G
O ), ou encore,
d’après ce que l’on a dit avant l’énoncé, qu’il provient d’un élément de J
¯
G
(¯ s)
¯
M
.
Notons S J l’ensemble des éléments ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tels que G
(˜ s) soit
elliptique, que A G (˜ s) = A G (˜ s) et que J provienne d’un élément de J
G
(˜ s)
M
𚶀
(B
˜
G
O ).
A l’aide de (7) et (9), l’expression (3) se transforme en
(10)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (ξ),
où
(11)
ξ =
˜
s∈SJ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()(c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1 σ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a).
L’ensemble S J est un sous-ensemble de l’ensemble S défini en 5.3. D’après 5.3(5),
il est vide si A ˜
G = A Gη . Supposons A ˜
G = A Gη . Notons ¯
S J l’ensemble des ¯
s ∈
¯
ζZ( ˆ ¯
M ad )
ΓF tels que la donnée associée ¯
G
(¯ s) soit elliptique et que J provienne d’un
élément de J
¯
G
(¯ s)
¯
M
. D’après 5.3(6), S J est l’ensemble des ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M, ˆ
θ)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
tels que l’élément associé ¯
s appartienne à ¯
S J . Il est clair que, si J ne provient pas
d’un élément de J
¯
G
¯
M
, les deux ensembles S J et ¯
S J sont vides. On obtient