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Chapitre III. Réductions et preuves
Posons τ (˜ s) sc = σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a). C’est un élément de D
st
unip (M
(˜ s) ,sc (F )).
Avec les notations de 5.4(3), l’égalité précédente devient
(5)
σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a) = e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)τ (˜ s)
˜
M
1 (˜ s) .
Appliquons 5.4(3). On obtient
(6)
transfert(τ (˜ s)
˜
M
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y]d(˜ s, y)τ [y]
˜
M .
Reprenons la construction de τ [y]
˜
M pour y ∈ ˙
Y
M . L’élément ¯
τ (¯ s) sc est le transfert non standard de τ (˜ s) sc , c’est-à-dire de σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a). De l’élément
J de J
G
(˜ s),SC
M (˜ s),sc (B
˜
G
O ) se déduit un élément de J
¯
G(¯ s)SC
¯
M (¯ s)sc
que l’on note encore J.
Notons ¯
δ SC l’image par transfert non standard de δ ,SC . C’est un élément de
D
st
unip ( ¯
M
SC (F )). En utilisant l’analogue de 3.7(4) pour le transfert non standard,
on obtient que le transfert non standard de δ(˜ s) ,sc est ι
∗
¯
M
SC , ¯
M (¯ s)sc
( ¯
δ SC ). Notons
¯
δ(¯ s) sc cet élément. Utilisons l’hypothèse (2). Elle nous dit que le transfert non
standard de σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a) est égal à cσ
¯
G
(¯ s)SC
J
( ¯
δ(¯ s) sc , a), où
c = (c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1 .
Autrement dit
¯
τ (¯ s) sc = cσ
¯
G
(¯ s)SC
J
( ¯
δ(¯ s) sc , a).
On a ¯
τ (¯ s) = ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M (¯ τ (¯ s) sc ). En utilisant le lemme 3.6, on obtient
¯
τ (¯ s) = cσ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a), où ¯
δ = ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M ( ¯
δ(¯ s) sc ).
Remarquons que l’on a aussi
¯
δ = ι
∗
¯
M
SC , ¯
M ( ¯
δ SC ).
Cette distribution ne dépend pas de ¯
s. Ensuite
τ [y]
˜
M = desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (¯ τ (¯ s))
= c desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (σ
¯
M
J ( ¯
δ, a)).
On a ajouté un indice y pour rappeler qu’il s’agit du transfert de ¯
M
vers M η[y] .
En utilisant (5) et (6), on obtient
(7)
transfert(σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a))
=
y∈ ˙
Y M
c
M [y]d(˜ s, y)e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)(c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1
desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (σ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a)).
Chapitre III. Réductions et preuves
Posons τ (˜ s) sc = σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a). C’est un élément de D
st
unip (M
(˜ s) ,sc (F )).
Avec les notations de 5.4(3), l’égalité précédente devient
(5)
σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a) = e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)τ (˜ s)
˜
M
1 (˜ s) .
Appliquons 5.4(3). On obtient
(6)
transfert(τ (˜ s)
˜
M
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y]d(˜ s, y)τ [y]
˜
M .
Reprenons la construction de τ [y]
˜
M pour y ∈ ˙
Y
M . L’élément ¯
τ (¯ s) sc est le transfert non standard de τ (˜ s) sc , c’est-à-dire de σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a). De l’élément
J de J
G
(˜ s),SC
M (˜ s),sc (B
˜
G
O ) se déduit un élément de J
¯
G(¯ s)SC
¯
M (¯ s)sc
que l’on note encore J.
Notons ¯
δ SC l’image par transfert non standard de δ ,SC . C’est un élément de
D
st
unip ( ¯
M
SC (F )). En utilisant l’analogue de 3.7(4) pour le transfert non standard,
on obtient que le transfert non standard de δ(˜ s) ,sc est ι
∗
¯
M
SC , ¯
M (¯ s)sc
( ¯
δ SC ). Notons
¯
δ(¯ s) sc cet élément. Utilisons l’hypothèse (2). Elle nous dit que le transfert non
standard de σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a) est égal à cσ
¯
G
(¯ s)SC
J
( ¯
δ(¯ s) sc , a), où
c = (c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1 .
Autrement dit
¯
τ (¯ s) sc = cσ
¯
G
(¯ s)SC
J
( ¯
δ(¯ s) sc , a).
On a ¯
τ (¯ s) = ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M (¯ τ (¯ s) sc ). En utilisant le lemme 3.6, on obtient
¯
τ (¯ s) = cσ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a), où ¯
δ = ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M ( ¯
δ(¯ s) sc ).
Remarquons que l’on a aussi
¯
δ = ι
∗
¯
M
SC , ¯
M ( ¯
δ SC ).
Cette distribution ne dépend pas de ¯
s. Ensuite
τ [y]
˜
M = desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (¯ τ (¯ s))
= c desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (σ
¯
M
J ( ¯
δ, a)).
On a ajouté un indice y pour rappeler qu’il s’agit du transfert de ¯
M
vers M η[y] .
En utilisant (5) et (6), on obtient
(7)
transfert(σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a))
=
y∈ ˙
Y M
c
M [y]d(˜ s, y)e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)(c
¯
G
(¯ s)SC ,G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc,M (˜ s),sc
)
−1
desc
˜
M,∗
η[y] ◦ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
◦ transfert y (σ
¯
G
(¯ s)
J
( ¯
δ, a)).