III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
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où
δ(˜ s) ,sc = ι
∗
M
,SC ,M (˜ s),sc (δ ,SC ).
Supposons que J provienne d’un élément de J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O ). Celui-ci est alors unique
et, conformément à ce que l’on a dit avant l’énoncé, on le note encore J. On a
σ
G
(˜ s)
J
(δ, a) = σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a).
Appliquons la proposition 4.3. C’est loisible car dim(G
(s) SC ) < dim(G SC ). En
effet, le seul cas où cette inégalité n’est pas vérifiée est celui où (G, ˜
G, a) est quasidéployé et à torsion intérieure et où M
= M. Or on a exclu ce cas. Rappelons
que l’hypothèse que J ∈ J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O ) implique que A G
1 (˜ s) = A G
1 (˜ s) 1 (˜ s) , ce qui
équivaut à A G (˜ s) = A G (˜ s) , et que J provient d’un élément de J
G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(B
˜
G
O )
que l’on note encore J. Alors, d’après la proposition 4.3, on a
σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a) = e
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))d(˜ s)
× desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1(˜ s)
σ
G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
J
(ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ(˜ s) ,sc ), a)
.
On a
(4)
e
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s)) = e
˜
G
(˜ s)
˜
M ().
On a un diagramme commutatif
1
1
↓
↓
1 → Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→ Z( ˆ
G
1 (˜ s))
ΓF
→ ˆ
C 1 (˜ s)
ΓF
→ 1
↓
↓
↓
1 → Z( ˆ
M
)
ΓF
→ Z( ˆ
M
1 (˜ s))
ΓF
→ ˆ
C 1 (˜ s)
ΓF
→ 1 .
La tore C 1 (˜ s) est induit donc ˆ
C 1 (˜ s)
ΓF est connexe. Les dernières flèches horizontales sont donc surjectives. Donc les lignes sont exactes. Les colonnes aussi,
évidemment. Il en résulte l’égalité
Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF = Z( ˆ
M
1 (˜ s))
ΓF /Z( ˆ
G
1 (˜ s))
ΓF .
De même
Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s) )
ΓF = Z( ˆ
M
1 (˜ s) 1(˜ s) )
ΓF /Z( ˆ
G
1 (˜ s) 1(˜ s) )
ΓF .
L’égalité (4) résulte alors de la définition de 4.3.
Appliquons (4) et le lemme 3.6. On obtient
σ
˜
G
1 (˜ s)
J
(δ 1 (˜ s), a) = e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1(˜ s)
◦ ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(σ
G
(˜ s),SC
J
(δ(˜ s) ,sc , a)).