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Chapitre III. Réductions et preuves
et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
Preuve. Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et si M
= M, l’énoncé
est tautologique : le terme σ
˜
G
J (δ, a) est défini pour qu’il en soit ainsi. On exclut ce
cas.
Rappelons la définition
(3)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
J ∈J
˜
G (s)
˜
M
(B
˜
G
O );J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)).
Expliquons la notation a du membre de droite. L’élément initial a appartient à
A ˜
M (F ). Il est proche de 1, on peut l’écrire a = exp(H), où H ∈ a ˜
M (F ) est proche
de 0. Seules comptent les valeurs u(a) pour u ∈ U J , a fortiori seules comptent les
valeurs α(H) pour α ∈ Σ(A ˜
M ). Autrement dit, seule compte l’image de H dans
a ˜
M (F )/a ˜
G (F ). Pour ˜
s apparaissant ci-dessus, avec i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0 donc G
(˜ s)
elliptique, on a un isomorphisme naturel
a ˜
M (F )/a ˜
G (F ) a M (F )/a G (˜ s) (F ).
On note encore H un élément de a M (F ) qui a même image que le H initial dans
le quotient commun ci-dessus et on note encore a l’élément exp(H) ∈ A M (F ).
Une convention analogue sera utilisée diverses fois dans la suite du calcul.
On reprend les constructions et notations de la section 5. Après avoir fixé des
données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 , on identifie δ à un élément δ 1 ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F ))
auquel on applique les considérations de 5.5. Ici, les parties semi-simples des éléments du support de notre élément δ appartiennent à O
. Donc les termes Z
apparaissant en 5.5 sont nuls. Il existe donc δ ,SC ∈ D
st
unip (M
,SC (F )) tel que
δ 1 = desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
◦ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC ).
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . L’élément δ s’identifie aussi à un élément
δ 1 (˜ s) appartenant à D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (˜ s)(F )). D’après 5.5, on peut supposer
δ 1 (˜ s) = d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1(˜ s
◦ι M
,SC ,M
1 (˜ s) 1 (˜ s) (δ ,SC ).
Introduisons le groupe intermédiaire M
(˜ s) ,sc , image réciproque de M
dans
G
(˜ s) ,SC . L’égalité ci-dessus entraîne
δ 1 (˜ s) = d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1
◦ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ(˜ s) ,sc ),
Chapitre III. Réductions et preuves
et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
Preuve. Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et si M
= M, l’énoncé
est tautologique : le terme σ
˜
G
J (δ, a) est défini pour qu’il en soit ainsi. On exclut ce
cas.
Rappelons la définition
(3)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
J ∈J
˜
G (s)
˜
M
(B
˜
G
O );J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)).
Expliquons la notation a du membre de droite. L’élément initial a appartient à
A ˜
M (F ). Il est proche de 1, on peut l’écrire a = exp(H), où H ∈ a ˜
M (F ) est proche
de 0. Seules comptent les valeurs u(a) pour u ∈ U J , a fortiori seules comptent les
valeurs α(H) pour α ∈ Σ(A ˜
M ). Autrement dit, seule compte l’image de H dans
a ˜
M (F )/a ˜
G (F ). Pour ˜
s apparaissant ci-dessus, avec i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0 donc G
(˜ s)
elliptique, on a un isomorphisme naturel
a ˜
M (F )/a ˜
G (F ) a M (F )/a G (˜ s) (F ).
On note encore H un élément de a M (F ) qui a même image que le H initial dans
le quotient commun ci-dessus et on note encore a l’élément exp(H) ∈ A M (F ).
Une convention analogue sera utilisée diverses fois dans la suite du calcul.
On reprend les constructions et notations de la section 5. Après avoir fixé des
données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 , on identifie δ à un élément δ 1 ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F ))
auquel on applique les considérations de 5.5. Ici, les parties semi-simples des éléments du support de notre élément δ appartiennent à O
. Donc les termes Z
apparaissant en 5.5 sont nuls. Il existe donc δ ,SC ∈ D
st
unip (M
,SC (F )) tel que
δ 1 = desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
◦ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC ).
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . L’élément δ s’identifie aussi à un élément
δ 1 (˜ s) appartenant à D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (˜ s)(F )). D’après 5.5, on peut supposer
δ 1 (˜ s) = d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1(˜ s
◦ι M
,SC ,M
1 (˜ s) 1 (˜ s) (δ ,SC ).
Introduisons le groupe intermédiaire M
(˜ s) ,sc , image réciproque de M
dans
G
(˜ s) ,SC . L’égalité ci-dessus entraîne
δ 1 (˜ s) = d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1
◦ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ(˜ s) ,sc ),