III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
393
III.7 Preuves des théorèmes [II] 1.10 et [II] 1.16(ii) et
preuve conditionnelle du théorème [II] 1.16(i)
III.7.1 Les termes ρ
˜
G,E
J
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une
donnée endoscopique elliptique et relevante M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a).
On suppose donné un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant un élément
∈ ˜
M
ss (F ) à un élément η ∈ ˜
M ss (F ). On suppose que M
est quasi-déployé et
que A M
= A M . On note O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
M
(F ) et O
la classe de conjugaison stable de η dans ˜
M (F ). Comme on l’a vu, tout élément
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ donne naissance à un triplet endoscopique non standard
( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ). On a défini un système de fonctions B
˜
G sur ˜
G
(˜ s), dont on
déduit une fonction B
˜
G
O sur le système de racines de G
(˜ s) ,SC . Par la construction
de 6.4, on en déduit une fonction sur le système de racines de ¯
G
(¯ s) SC . On a
(1) cette fonction est constante de valeur 1.
Le système de racines B
˜
G a précisément été défini pour qu’il en soit ainsi.
Pour vérifier cette propriété, il suffit de reprendre la définition de [II] 1.11 du
système de fonctions B
˜
G , celle de 6.4 de la fonction associée sur le système de
racines de ¯
G
(¯ s) SC et d’utiliser les descriptions des systèmes de racines des groupes
G
(˜ s) ,SC et ¯
G
(¯ s) SC donnée en [79] 3.3.
Supposons A G (˜ s) = A ˜
G . On a un diagramme
J
˜
G
(˜ s)
M
(B O ) → J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B O )
J
˜
G
˜
M
.
J
¯
G
(¯ s)
¯
M
→
J
¯
G
¯
M
Les flèches se définissent par endoscopie ou descente, compte tenu du fait que les
ensembles en question sont insensibles au remplacement d’un groupe par le revêtement simplement connexe de son groupe dérivé. On vérifie que ce diagramme est
commutatif. Toutes les flèches sont injectives et, pour simplifier, on considère chacun des ensembles comme un sous-ensemble de J
˜
G
˜
M
. Fixons J ∈ J
˜
G
˜
M
. On considère
l’hypothèse suivante
(2) pour chaque triplet ( ¯
G
(¯ s) SC , G
,SC , j ∗ ) ci-dessus pour lequel A G (˜ s) = A ˜
G
et J ∈ J
¯
G
(¯ s)
¯
M
, la proposition 6.5 est vérifiée pour cet élément J.
Rappelons la proposition [II] 3.8 que nous allons prouver sous ces hypothèses.
Proposition. On suppose A M
= A M . Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
tel que (2) soit vérifiée,
tout δ ∈ D
st
G´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale
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III.7 Preuves des théorèmes [II] 1.10 et [II] 1.16(ii) et
preuve conditionnelle du théorème [II] 1.16(i)
III.7.1 Les termes ρ
˜
G,E
J
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une
donnée endoscopique elliptique et relevante M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a).
On suppose donné un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant un élément
∈ ˜
M
ss (F ) à un élément η ∈ ˜
M ss (F ). On suppose que M
est quasi-déployé et
que A M
= A M . On note O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
M
(F ) et O
la classe de conjugaison stable de η dans ˜
M (F ). Comme on l’a vu, tout élément
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ donne naissance à un triplet endoscopique non standard
( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ). On a défini un système de fonctions B
˜
G sur ˜
G
(˜ s), dont on
déduit une fonction B
˜
G
O sur le système de racines de G
(˜ s) ,SC . Par la construction
de 6.4, on en déduit une fonction sur le système de racines de ¯
G
(¯ s) SC . On a
(1) cette fonction est constante de valeur 1.
Le système de racines B
˜
G a précisément été défini pour qu’il en soit ainsi.
Pour vérifier cette propriété, il suffit de reprendre la définition de [II] 1.11 du
système de fonctions B
˜
G , celle de 6.4 de la fonction associée sur le système de
racines de ¯
G
(¯ s) SC et d’utiliser les descriptions des systèmes de racines des groupes
G
(˜ s) ,SC et ¯
G
(¯ s) SC donnée en [79] 3.3.
Supposons A G (˜ s) = A ˜
G . On a un diagramme
J
˜
G
(˜ s)
M
(B O ) → J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B O )
J
˜
G
˜
M
.
J
¯
G
(¯ s)
¯
M
→
J
¯
G
¯
M
Les flèches se définissent par endoscopie ou descente, compte tenu du fait que les
ensembles en question sont insensibles au remplacement d’un groupe par le revêtement simplement connexe de son groupe dérivé. On vérifie que ce diagramme est
commutatif. Toutes les flèches sont injectives et, pour simplifier, on considère chacun des ensembles comme un sous-ensemble de J
˜
G
˜
M
. Fixons J ∈ J
˜
G
˜
M
. On considère
l’hypothèse suivante
(2) pour chaque triplet ( ¯
G
(¯ s) SC , G
,SC , j ∗ ) ci-dessus pour lequel A G (˜ s) = A ˜
G
et J ∈ J
¯
G
(¯ s)
¯
M
, la proposition 6.5 est vérifiée pour cet élément J.
Rappelons la proposition [II] 3.8 que nous allons prouver sous ces hypothèses.
Proposition. On suppose A M
= A M . Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
tel que (2) soit vérifiée,
tout δ ∈ D
st
G´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale