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Chapitre III. Réductions et preuves
1. Via j ∗ , on a déduit de B 1 une fonction B 2 . Via dj ∗ , la fonction déduite de 1 est
dB 2 /B 1 . On a construit à l’aide de j ∗ une constante c
G1,G2
M1,M2 , notons-la plus précisément c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ ). On vérifie que la constante c
G1,G2
M1,M2 (dj ∗ ) construite à l’aide de dj ∗
est d
aM −aG c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ ). Soient J 1 ∈ J
G1
M1 (B 1 ), δ 1 ∈ D
st
nil (m 1 (F )) ⊗ Mes(M 1 (F ))
∗
et X 1 ∈ a M1 (F ) en position générale. Notons J 2 ∈ J
G2
M2 (B 2 ) l’élément correspondant à J 1 . Notons plus précisément transfert j∗ les isomorphismes 6.4(1) et 6.4(2)
relatifs à j ∗ . Posons δ 2 = transfert j∗ (δ 1 ). Pour prouver la proposition 6.5, on doit
prouver que
(8)
transfert j∗ (σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 , m 1 )) = c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ )σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 ), m 2 ).
Les termes B 1 J 1 et B 1 J 2 /d appartiennent respectivement à
J
G1
M1 (1) et J
G2
M2 (dB 2 /B 1 ).
Ils se correspondent. On vérifie sur les définitions que transfert dj∗ est le composé
de transfert j∗ et de l’application δ → δ[d]. On peut d’ailleurs composer dans
l’un ou l’autre sens car le transfert commute à l’application δ → δ[r] pour tout
r ∈ F
× . Donc transfert dj∗ (δ 1 ) = δ 2 [d] et aussi transfert dj∗ (δ 1 [1/B 1 ]) = δ 2 [d/B 1 ].
Supposons la proposition 6.5 connue pour le triplet quasi-élémentaire (G 1 , G 2 , dj ∗ )
et la fonction 1. Elle implique l’égalité
transfert dj∗ (σ
G1
B1J1 (δ 1 [1/B 1 ], X 1 /B 1 , m 1 ))
= c
G1,G2
M1,M2 (dj ∗ )σ
G2
B1J2/d (δ 2 [d/B 1 ], dj ∗ (X 1 /B 1 ), m
2 ).
D’après (4), on a l’égalité
σ
G1
B1J1 (δ 1 [1/B 1 ], X 1 /B 1 , m 1 ) = σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 , m 1 )[1/B 1 ].
D’après (1) et (4), on a l’égalité
σ
G2
B1J2/d (δ 2 [d/B 1 ], dj ∗ (X 1 /B 1 ), m
2 ) = d
−aM +aG σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 ), m 2 )[d/B 1 ].
L’égalité précédente devient
transfert dj∗ (σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 , m 1 )[1/B 1 ]) = c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ )σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 ), m 2 )[d/B 1 ].
En vertu des propriétés déjà signalées reliant le transfert aux applications δ →
δ[r], cette égalité est équivalente à (8) que l’on voulait prouver. Cela prouve la
proposition 6.5 pour notre triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) et nos fonctions B 1 et B 2 .
L’assertion du lemme concernant la proposition 6.6 se prouve de façon analogue.
Chapitre III. Réductions et preuves
1. Via j ∗ , on a déduit de B 1 une fonction B 2 . Via dj ∗ , la fonction déduite de 1 est
dB 2 /B 1 . On a construit à l’aide de j ∗ une constante c
G1,G2
M1,M2 , notons-la plus précisément c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ ). On vérifie que la constante c
G1,G2
M1,M2 (dj ∗ ) construite à l’aide de dj ∗
est d
aM −aG c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ ). Soient J 1 ∈ J
G1
M1 (B 1 ), δ 1 ∈ D
st
nil (m 1 (F )) ⊗ Mes(M 1 (F ))
∗
et X 1 ∈ a M1 (F ) en position générale. Notons J 2 ∈ J
G2
M2 (B 2 ) l’élément correspondant à J 1 . Notons plus précisément transfert j∗ les isomorphismes 6.4(1) et 6.4(2)
relatifs à j ∗ . Posons δ 2 = transfert j∗ (δ 1 ). Pour prouver la proposition 6.5, on doit
prouver que
(8)
transfert j∗ (σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 , m 1 )) = c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ )σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 ), m 2 ).
Les termes B 1 J 1 et B 1 J 2 /d appartiennent respectivement à
J
G1
M1 (1) et J
G2
M2 (dB 2 /B 1 ).
Ils se correspondent. On vérifie sur les définitions que transfert dj∗ est le composé
de transfert j∗ et de l’application δ → δ[d]. On peut d’ailleurs composer dans
l’un ou l’autre sens car le transfert commute à l’application δ → δ[r] pour tout
r ∈ F
× . Donc transfert dj∗ (δ 1 ) = δ 2 [d] et aussi transfert dj∗ (δ 1 [1/B 1 ]) = δ 2 [d/B 1 ].
Supposons la proposition 6.5 connue pour le triplet quasi-élémentaire (G 1 , G 2 , dj ∗ )
et la fonction 1. Elle implique l’égalité
transfert dj∗ (σ
G1
B1J1 (δ 1 [1/B 1 ], X 1 /B 1 , m 1 ))
= c
G1,G2
M1,M2 (dj ∗ )σ
G2
B1J2/d (δ 2 [d/B 1 ], dj ∗ (X 1 /B 1 ), m
2 ).
D’après (4), on a l’égalité
σ
G1
B1J1 (δ 1 [1/B 1 ], X 1 /B 1 , m 1 ) = σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 , m 1 )[1/B 1 ].
D’après (1) et (4), on a l’égalité
σ
G2
B1J2/d (δ 2 [d/B 1 ], dj ∗ (X 1 /B 1 ), m
2 ) = d
−aM +aG σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 ), m 2 )[d/B 1 ].
L’égalité précédente devient
transfert dj∗ (σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 , m 1 )[1/B 1 ]) = c
G1,G2
M1,M2 (j ∗ )σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 ), m 2 )[d/B 1 ].
En vertu des propriétés déjà signalées reliant le transfert aux applications δ →
δ[r], cette égalité est équivalente à (8) que l’on voulait prouver. Cela prouve la
proposition 6.5 pour notre triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) et nos fonctions B 1 et B 2 .
L’assertion du lemme concernant la proposition 6.6 se prouve de façon analogue.