III.6. Triplets endoscopiques non standard
391
En comparant avec (5) appliquée à δ[r] et à la fonction rB, on obtient
I
G ((g
G
M,nil (δ, B))[r], f ) = I
G (g
G
M,nil (δ[r], rB), f ),
ce qui prouve la deuxième assertion de (4). Il reste à prouver (6). Si τ est à support
G-équisingulier, les intégrales orbitales pondérées sont définies par une honnête
intégrale et un simple calcul conduit à l’égalité cherchée (c’est essentiellement
la même chose que pour (2), les fonctions poids ne perturbent pas le calcul).
Supposons que τ soit l’intégrale orbitale associée à un élément nilpotent N ∈ m(F )
et à une mesure sur M N (F ). Considérons un élément X ∈ a M (F ) en position
générale, notons τ X l’intégrale orbitale (dans m(F )) associée à X +N et à la même
mesure sur M X+N (F ) = M N (F ). On a alors pour tout f ∈ C
∞
c (g(F ))⊗Mes(G(F ))
une formule
(7)
J
G
M (τ , B, f ) = lim
X→0
L∈L(M)
r
L
M (N, B, X)J
G
L (τ
L
X , f ).
Remplaçons τ par τ [r], B par rB et X par rX dans les constructions. On vérifie
sur la description explicite que l’on a donnée plus haut que τ X est remplacé par
τ X [r]. On a aussi (τ X [r])
L = (τ
L
X )[r]. La formule ci-dessus devient
J
G
M (τ [r], rB, f ) = lim
X→0
L∈L(M)
r
L
M (rN, rB, rX)J
G
L (τ
L
X [r], f ).
Par (6) appliqué au cas déjà prouvé des éléments à support G-équisingulier, c’est
aussi
J
G
M (τ [r], rB, f ) = lim
X→0
L∈L(M)
r
L
M (rN, rB, rX)J
G
L (τ
L
X , f [r]).
En comparant avec la formule (7) appliquée à f [r], on voit que, pour obtenir
l’égalité (6), il suffit de prouver l’égalité
r
L
M (rN, rB, rX) = r
L
M (N, B, X)
pour tout L. Mais la preuve de cette égalité est exactement la même que celle de
la première assertion de (4). Cela prouve la deuxième assertion de (4).
Venons-en à la preuve du lemme. Soit (G 1 , G 2 , j ∗ ) un triplet endoscopique
non standard pour lequel on veut prouver la proposition 6.5 ou 6.6. Si le triplet
est produit de triplets (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ) pour i = 1, . . . , m, la proposition pour notre
triplet résulte de la même proposition pour chaque triplet (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ). On peut
donc supposer que (G 1 , G 2 , j ∗ ) est équivalent à un triplet quasi-élémentaire, autrement dit on peut fixer d ∈ Q >0 tel que (G 1 , G 2 , dj ∗ ) soit quasi-élémentaire. On a
fixé une mesure m 1 sur A
G1
M1 , dont se déduit via j ∗ une mesure m 2 sur A
G2
M2 . La mesure m
2 déduite via dj ∗ est égale à d
−aM +aG m 2 , où on a posé a M = a Mi , a G = a Gi
pour i = 1, 2. On a fixé une fonction constante B 1 . On note encore B 1 la valeur
constante de cette fonction et on note 1 la fonction constante sur Σ(A M1 ) de valeur
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En comparant avec (5) appliquée à δ[r] et à la fonction rB, on obtient
I
G ((g
G
M,nil (δ, B))[r], f ) = I
G (g
G
M,nil (δ[r], rB), f ),
ce qui prouve la deuxième assertion de (4). Il reste à prouver (6). Si τ est à support
G-équisingulier, les intégrales orbitales pondérées sont définies par une honnête
intégrale et un simple calcul conduit à l’égalité cherchée (c’est essentiellement
la même chose que pour (2), les fonctions poids ne perturbent pas le calcul).
Supposons que τ soit l’intégrale orbitale associée à un élément nilpotent N ∈ m(F )
et à une mesure sur M N (F ). Considérons un élément X ∈ a M (F ) en position
générale, notons τ X l’intégrale orbitale (dans m(F )) associée à X +N et à la même
mesure sur M X+N (F ) = M N (F ). On a alors pour tout f ∈ C
∞
c (g(F ))⊗Mes(G(F ))
une formule
(7)
J
G
M (τ , B, f ) = lim
X→0
L∈L(M)
r
L
M (N, B, X)J
G
L (τ
L
X , f ).
Remplaçons τ par τ [r], B par rB et X par rX dans les constructions. On vérifie
sur la description explicite que l’on a donnée plus haut que τ X est remplacé par
τ X [r]. On a aussi (τ X [r])
L = (τ
L
X )[r]. La formule ci-dessus devient
J
G
M (τ [r], rB, f ) = lim
X→0
L∈L(M)
r
L
M (rN, rB, rX)J
G
L (τ
L
X [r], f ).
Par (6) appliqué au cas déjà prouvé des éléments à support G-équisingulier, c’est
aussi
J
G
M (τ [r], rB, f ) = lim
X→0
L∈L(M)
r
L
M (rN, rB, rX)J
G
L (τ
L
X , f [r]).
En comparant avec la formule (7) appliquée à f [r], on voit que, pour obtenir
l’égalité (6), il suffit de prouver l’égalité
r
L
M (rN, rB, rX) = r
L
M (N, B, X)
pour tout L. Mais la preuve de cette égalité est exactement la même que celle de
la première assertion de (4). Cela prouve la deuxième assertion de (4).
Venons-en à la preuve du lemme. Soit (G 1 , G 2 , j ∗ ) un triplet endoscopique
non standard pour lequel on veut prouver la proposition 6.5 ou 6.6. Si le triplet
est produit de triplets (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ) pour i = 1, . . . , m, la proposition pour notre
triplet résulte de la même proposition pour chaque triplet (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ). On peut
donc supposer que (G 1 , G 2 , j ∗ ) est équivalent à un triplet quasi-élémentaire, autrement dit on peut fixer d ∈ Q >0 tel que (G 1 , G 2 , dj ∗ ) soit quasi-élémentaire. On a
fixé une mesure m 1 sur A
G1
M1 , dont se déduit via j ∗ une mesure m 2 sur A
G2
M2 . La mesure m
2 déduite via dj ∗ est égale à d
−aM +aG m 2 , où on a posé a M = a Mi , a G = a Gi
pour i = 1, 2. On a fixé une fonction constante B 1 . On note encore B 1 la valeur
constante de cette fonction et on note 1 la fonction constante sur Σ(A M1 ) de valeur