390
Chapitre III. Réductions et preuves
Pour obtenir la première formule de (4), il reste à prouver que
m(α/r, rN ) sgn(α/r, rN ) = m(α, N) sgn(α, N).
En revenant à la définition de ces termes, cf. [II] 3.2, il suffit de prouver que, pour
tout α ∈ Σ(A M , B), on a ρ(α, N, B) = ρ(α/r, rN, rB). Le groupe G α associé à
α en [II] 1.8 est le même que le groupe G α/r associé à α/r. L’égalité précédente
résulte de la même égalité pour ce groupe. Cela résout le problème si G α = G.
Supposons G α = G, donc α est indivisible. On vient de prouver la relation requise
pour nα pour tout n ≥ 2. Alors la relation [II] 1.8(6) montre qu’il suffit de prouver
l’égalité suivante où les fonctions B et rB ont disparu :
ρ(α, rN ) = ρ(α, N )
pour tout α ∈ Σ(A M ). De nouveau, un dévissage des définitions nous ramène à
prouver que les termes initiaux ρ
Art (β, N ) définis par Arthur sont insensibles au
remplacement de N par rN . Cela vient du fait qu’ils sont de nature géométrique
et que, d’après la théorie des SL 2 -triplets, rN est conjugué à N par un élément
de G( ¯
F ). D’où la première assertion de (4).
Pour la deuxième assertion, la définition [II] 2.4(1) et la formule (3) ci-dessus
nous ramènent à prouver l’assertion analogue pour les germes g
G
M,nil (δ, B). On
peut de nouveau lever l’hypothèse que δ est stable. On a énoncé en [II] 2.3 la
définition de ces germes pour des intégrales orbitales pondérées invariantes, mais
les mêmes relations valent pour les intégrales orbitales pondérées non invariantes,
cf. [9] proposition 9.1. C’est-à-dire que pour f ∈ C
∞
c (g(F )) ⊗ Mes(G(F )) et pour
δ assez proche de 0, on a l’égalité
(5)
J
G
M (δ, f ) =
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,nil (δ, B), B, f ).
Supposons prouvée l’assertion suivante :
(6) Soient f ∈ C
∞
c (g(F )) ⊗ Mes(G(F )) et τ ∈ D g´ eom (m(F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ; supposons que les éléments du support de τ sont G-équisinguliers ou nilpotents ;
alors on a l’égalité
J
G
M (τ [r], rB, f ) = J
G
M (τ , B, f[r]).
En remplaçant f par f [r] dans (5) et en utilisant (6), on obtient
J
G
M (δ[r], f ) =
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,nil (δ, B)[r], rB, f ).
Par récurrence, on peut utiliser la deuxième relation de (4) en y remplaçant G par
tout Levi L = G. On obtient
J
G
M (δ[r], f ) = I
G ((g
G
M,nil (δ, B))[r], f ) +
L∈L(M),L =G
J
G
L (g
L
M,nil (δ[r], rB), rB, f ).
Chapitre III. Réductions et preuves
Pour obtenir la première formule de (4), il reste à prouver que
m(α/r, rN ) sgn(α/r, rN ) = m(α, N) sgn(α, N).
En revenant à la définition de ces termes, cf. [II] 3.2, il suffit de prouver que, pour
tout α ∈ Σ(A M , B), on a ρ(α, N, B) = ρ(α/r, rN, rB). Le groupe G α associé à
α en [II] 1.8 est le même que le groupe G α/r associé à α/r. L’égalité précédente
résulte de la même égalité pour ce groupe. Cela résout le problème si G α = G.
Supposons G α = G, donc α est indivisible. On vient de prouver la relation requise
pour nα pour tout n ≥ 2. Alors la relation [II] 1.8(6) montre qu’il suffit de prouver
l’égalité suivante où les fonctions B et rB ont disparu :
ρ(α, rN ) = ρ(α, N )
pour tout α ∈ Σ(A M ). De nouveau, un dévissage des définitions nous ramène à
prouver que les termes initiaux ρ
Art (β, N ) définis par Arthur sont insensibles au
remplacement de N par rN . Cela vient du fait qu’ils sont de nature géométrique
et que, d’après la théorie des SL 2 -triplets, rN est conjugué à N par un élément
de G( ¯
F ). D’où la première assertion de (4).
Pour la deuxième assertion, la définition [II] 2.4(1) et la formule (3) ci-dessus
nous ramènent à prouver l’assertion analogue pour les germes g
G
M,nil (δ, B). On
peut de nouveau lever l’hypothèse que δ est stable. On a énoncé en [II] 2.3 la
définition de ces germes pour des intégrales orbitales pondérées invariantes, mais
les mêmes relations valent pour les intégrales orbitales pondérées non invariantes,
cf. [9] proposition 9.1. C’est-à-dire que pour f ∈ C
∞
c (g(F )) ⊗ Mes(G(F )) et pour
δ assez proche de 0, on a l’égalité
(5)
J
G
M (δ, f ) =
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,nil (δ, B), B, f ).
Supposons prouvée l’assertion suivante :
(6) Soient f ∈ C
∞
c (g(F )) ⊗ Mes(G(F )) et τ ∈ D g´ eom (m(F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ; supposons que les éléments du support de τ sont G-équisinguliers ou nilpotents ;
alors on a l’égalité
J
G
M (τ [r], rB, f ) = J
G
M (τ , B, f[r]).
En remplaçant f par f [r] dans (5) et en utilisant (6), on obtient
J
G
M (δ[r], f ) =
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,nil (δ, B)[r], rB, f ).
Par récurrence, on peut utiliser la deuxième relation de (4) en y remplaçant G par
tout Levi L = G. On obtient
J
G
M (δ[r], f ) = I
G ((g
G
M,nil (δ, B))[r], f ) +
L∈L(M),L =G
J
G
L (g
L
M,nil (δ[r], rB), rB, f ).