III.6. Triplets endoscopiques non standard
389
Pour γ quelconque, γ[r] est défini par cette relation. Soit X ∈ g(F ) quelconque,
fixons une mesure sur G X (F ) et notons γ l’intégrale orbitale associée. On vérifie que γ[r] est égale à |r|
δ(GX ss )/2
F
γ
, où X ss est la partie semi-simple de X
et γ
est l’intégrale orbitale associée à rX et à la même mesure sur G X (F ).
En tensorisant avec l’identité de Mes(G(F )), on obtient des transformations de
I(g(F )) ⊗ Mes(G(F )) ou SI(g(F )) ⊗ Mes(G(F )). Dualement, l’application γ →
γ[r] préserve les distributions stables. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF . De la donnée
endoscopique maximale M de M et de s se déduit une donnée endoscopique
G
(s) = (G
(s), G
(s), s). Notons que, puisqu’on travaille avec des algèbres de
Lie, l’introduction de données auxiliaires pour la donnée endoscopique G
(s) est
inutile. Les facteurs de transfert sont normalisés de sorte qu’ils vaillent 1 sur la
diagonale dans m(F ) × m(F ). Fixons s. On a donc un facteur de transfert Δ(s)
sur un sous-ensemble de g
(s; F ) × g(F ). Le lemme 3.2.1 de [34] affirme qu’il existe
un caractère χ de F
× tel que Δ(s)(λY, λX) = χ(λ)Δ(s)(Y, X) pour tout couple
(Y, X) et tout λ ∈ F
× . En considérant un couple Y = X ∈ m(F ), on obtient
χ = 1. Par un calcul simple, on en déduit
(3)
(f [r])
G
(s)
=
(f
G
(s) )[r]
transfert(τ [r]) = (transfert(τ ))[r]
pour tout f ∈ I(g(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout τ ∈ D
st
g´ eom (g
(s; F )) ⊗ Mes(G
(s; F ))
∗ .
Soit maintenant r ∈ Q >0 . On peut appliquer les constructions ci-dessus à
cet élément. La fonction rB vérifie les mêmes hypothèses que B. L’ensemble
Σ(A M , rB) est formé des α/r pour α ∈ Σ(A M , B). On en déduit une biejction
J
G
M (B) J
G
M (rB). Notons J/r l’image de J dans ce dernier ensemble. Montrons
que
(4)
σ
G
J/r (δ nil [r], rH) = (σ
G
J (δ nil , H))[r],
Sg
G
M,nil (δ[r], rB) = (Sg
G
M,nil (δ, B))[r].
Pour la première égalité, la définition [II] 3.5(1) nous ramène par récurrence à
prouver l’assertion analogue pour les termes ρ
G
J . On peut alors lever l’hypothèse
que δ nil est stable. On peut supposer que δ nil est l’intégrale orbitale associée à un
élément nilpotent N ∈ m(F ) et une mesure sur M N (F ). Donc δ nil [r] est en tout
cas une intégrale orbitale associée à rN . Alors, d’après [II] 3.2(5), on a l’égalité
ρ
G
J/r (δ nil [r], rH) =
α ∈J/r
m(α
, rN) sgn(α
, rN)u α (rH)δ nil [r].
Pour α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J, posons α/r = {α 1 /r, . . . , α n /r}. Alors α/r ∈ J/r et
la correspondance α → α/r est bijective. Il est clair que u α/r (rH) = u α (H). La
formule ci-dessus se récrit
ρ
G
J/r (δ nil [r], rH) =
α∈J
m(α/r, rN ) sgn(α/r, rN )u α (H)δ nil [r].
389
Pour γ quelconque, γ[r] est défini par cette relation. Soit X ∈ g(F ) quelconque,
fixons une mesure sur G X (F ) et notons γ l’intégrale orbitale associée. On vérifie que γ[r] est égale à |r|
δ(GX ss )/2
F
γ
, où X ss est la partie semi-simple de X
et γ
est l’intégrale orbitale associée à rX et à la même mesure sur G X (F ).
En tensorisant avec l’identité de Mes(G(F )), on obtient des transformations de
I(g(F )) ⊗ Mes(G(F )) ou SI(g(F )) ⊗ Mes(G(F )). Dualement, l’application γ →
γ[r] préserve les distributions stables. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF . De la donnée
endoscopique maximale M de M et de s se déduit une donnée endoscopique
G
(s) = (G
(s), G
(s), s). Notons que, puisqu’on travaille avec des algèbres de
Lie, l’introduction de données auxiliaires pour la donnée endoscopique G
(s) est
inutile. Les facteurs de transfert sont normalisés de sorte qu’ils vaillent 1 sur la
diagonale dans m(F ) × m(F ). Fixons s. On a donc un facteur de transfert Δ(s)
sur un sous-ensemble de g
(s; F ) × g(F ). Le lemme 3.2.1 de [34] affirme qu’il existe
un caractère χ de F
× tel que Δ(s)(λY, λX) = χ(λ)Δ(s)(Y, X) pour tout couple
(Y, X) et tout λ ∈ F
× . En considérant un couple Y = X ∈ m(F ), on obtient
χ = 1. Par un calcul simple, on en déduit
(3)
(f [r])
G
(s)
=
(f
G
(s) )[r]
transfert(τ [r]) = (transfert(τ ))[r]
pour tout f ∈ I(g(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout τ ∈ D
st
g´ eom (g
(s; F )) ⊗ Mes(G
(s; F ))
∗ .
Soit maintenant r ∈ Q >0 . On peut appliquer les constructions ci-dessus à
cet élément. La fonction rB vérifie les mêmes hypothèses que B. L’ensemble
Σ(A M , rB) est formé des α/r pour α ∈ Σ(A M , B). On en déduit une biejction
J
G
M (B) J
G
M (rB). Notons J/r l’image de J dans ce dernier ensemble. Montrons
que
(4)
σ
G
J/r (δ nil [r], rH) = (σ
G
J (δ nil , H))[r],
Sg
G
M,nil (δ[r], rB) = (Sg
G
M,nil (δ, B))[r].
Pour la première égalité, la définition [II] 3.5(1) nous ramène par récurrence à
prouver l’assertion analogue pour les termes ρ
G
J . On peut alors lever l’hypothèse
que δ nil est stable. On peut supposer que δ nil est l’intégrale orbitale associée à un
élément nilpotent N ∈ m(F ) et une mesure sur M N (F ). Donc δ nil [r] est en tout
cas une intégrale orbitale associée à rN . Alors, d’après [II] 3.2(5), on a l’égalité
ρ
G
J/r (δ nil [r], rH) =
α ∈J/r
m(α
, rN) sgn(α
, rN)u α (rH)δ nil [r].
Pour α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J, posons α/r = {α 1 /r, . . . , α n /r}. Alors α/r ∈ J/r et
la correspondance α → α/r est bijective. Il est clair que u α/r (rH) = u α (H). La
formule ci-dessus se récrit
ρ
G
J/r (δ nil [r], rH) =
α∈J
m(α/r, rN ) sgn(α/r, rN )u α (H)δ nil [r].