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Chapitre III. Réductions et preuves
III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6
Lemme. Supposons que la proposition 6.5, resp. la proposition 6.6, soit vérifiée
dans le cas où (G 1 , G 2 , j ∗ ) est quasi-élémentaire et B 1 est la fonction constante
de valeur 1. Alors la proposition 6.5, resp. la proposition 6.6, est vérifiée.
Preuve. On a besoin de quelques propriétés préliminaires. Considérons un seul
groupe G réductif connexe et simplement connexe défini sur F , un Levi M de G
et une fonction B comme en [II] 1.8. Soient δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (m(F ))⊗Mes(M (F ))
∗ ,
δ nil ∈ D
st
nil (m(F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , H ∈ a M (F ) en position générale et proche de 0
et soit J ∈ J
G
M (B). On a défini σ
G
J (δ nil , H) et Sg
G
M,nil (δ, B). Ces termes dépendent
de la mesure que l’on a fixée en [II] 1.2 sur A
G
M . Pour un instant, notons m cette
mesure et introduisons-la dans la notation. Si on remplace m par cm, avec c ∈ R >0 ,
il résulte immédiatement des définitions que
(1)
σ
G
J δ nil , H, cm) = cσ
G
J (δ nil , H, m),
Sg
G
M,nil (δ, B, cm) = cSg
G
M,nil (δ, B, m).
Oublions cette parenthèse, la mesure m est maintenant fixée.
Soit r ∈ F
× . On définit deux homomorphismes
C
∞
c (g(F ))
→
C
∞
c (g(F ))
f
→
f [r]
D g´ eom (g(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ D g´ eom (g(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
γ
→
γ[r]
de la façon suivante. Rappelons que les données d’un élément X ∈ g(F ) et d’une
mesure de Haar sur G X (F ) définissent un élément γ ∈ D g´ eom (g(F ))⊗Mes(G(F ))
∗ .
Pour f ∈ C
∞
c (g(F )) et une mesure de Haar dg sur G(F ), on a
I
G (γ, f ⊗ dg) = D
G (X)
1/2
GX (F )\G(F )
f (ad
−1
x (X)) dx,
où dx est le quotient de dg par la mesure fixée sur G X (F ).Considérons d’abord un
élément X ∈ g reg (F ), posons T = G X . Munissons t(F ) d’une mesure de Haar. On
en déduit via l’exponentielle une mesure de Haar sur T (F ). Notons γ l’intégrale
orbitale associée. La multiplication par r envoie X sur rX et transporte la mesure
sur t(F ) sur cette mesure multipliée par |r|
− dim(T )
F
. On note γ[r] l’intégrale orbitale
associée à rX et cette nouvelle mesure. En posant δ(G) = dim(G) + dim(T ) et en
définissant f [r] par l’égalité
f [r](Y ) = |r|
δ(G)/2
F
f (rY )
pour tout Y ∈ g(F ), on voit que
(2)
I
G (γ[r], f ⊗ dg) = I
G (γ, f[r] ⊗ dg).
Chapitre III. Réductions et preuves
III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6
Lemme. Supposons que la proposition 6.5, resp. la proposition 6.6, soit vérifiée
dans le cas où (G 1 , G 2 , j ∗ ) est quasi-élémentaire et B 1 est la fonction constante
de valeur 1. Alors la proposition 6.5, resp. la proposition 6.6, est vérifiée.
Preuve. On a besoin de quelques propriétés préliminaires. Considérons un seul
groupe G réductif connexe et simplement connexe défini sur F , un Levi M de G
et une fonction B comme en [II] 1.8. Soient δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (m(F ))⊗Mes(M (F ))
∗ ,
δ nil ∈ D
st
nil (m(F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , H ∈ a M (F ) en position générale et proche de 0
et soit J ∈ J
G
M (B). On a défini σ
G
J (δ nil , H) et Sg
G
M,nil (δ, B). Ces termes dépendent
de la mesure que l’on a fixée en [II] 1.2 sur A
G
M . Pour un instant, notons m cette
mesure et introduisons-la dans la notation. Si on remplace m par cm, avec c ∈ R >0 ,
il résulte immédiatement des définitions que
(1)
σ
G
J δ nil , H, cm) = cσ
G
J (δ nil , H, m),
Sg
G
M,nil (δ, B, cm) = cSg
G
M,nil (δ, B, m).
Oublions cette parenthèse, la mesure m est maintenant fixée.
Soit r ∈ F
× . On définit deux homomorphismes
C
∞
c (g(F ))
→
C
∞
c (g(F ))
f
→
f [r]
D g´ eom (g(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ D g´ eom (g(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
γ
→
γ[r]
de la façon suivante. Rappelons que les données d’un élément X ∈ g(F ) et d’une
mesure de Haar sur G X (F ) définissent un élément γ ∈ D g´ eom (g(F ))⊗Mes(G(F ))
∗ .
Pour f ∈ C
∞
c (g(F )) et une mesure de Haar dg sur G(F ), on a
I
G (γ, f ⊗ dg) = D
G (X)
1/2
GX (F )\G(F )
f (ad
−1
x (X)) dx,
où dx est le quotient de dg par la mesure fixée sur G X (F ).Considérons d’abord un
élément X ∈ g reg (F ), posons T = G X . Munissons t(F ) d’une mesure de Haar. On
en déduit via l’exponentielle une mesure de Haar sur T (F ). Notons γ l’intégrale
orbitale associée. La multiplication par r envoie X sur rX et transporte la mesure
sur t(F ) sur cette mesure multipliée par |r|
− dim(T )
F
. On note γ[r] l’intégrale orbitale
associée à rX et cette nouvelle mesure. En posant δ(G) = dim(G) + dim(T ) et en
définissant f [r] par l’égalité
f [r](Y ) = |r|
δ(G)/2
F
f (rY )
pour tout Y ∈ g(F ), on voit que
(2)
I
G (γ[r], f ⊗ dg) = I
G (γ, f[r] ⊗ dg).