III.6. Triplets endoscopiques non standard
387
Fixons un entier n assez grand. On a alors un diagramme commutatif
1
1
1
↓
↓
↓
1 → A → Z( ˆ
G 2,J2 )
ΓF
ˆ jn
→ Z( ˆ
G 1,J1 )
ΓF
→ 1
↓
↓
↓
1 → B →
Z( ˆ
M 2 )
ΓF
ˆ jn
→
Z( ˆ
M 1 )
ΓF
→ 1
↓
↓
↓
1 → C → Z( ˆ
M 2,ad )
ΓF
ˆ jn
→ Z( ˆ
M 1,ad )
ΓF
→ 1
↓
↓
↓
1
1
1
où A, B et C sont les noyaux des flèches horizontales de droite. Les lignes de ce
diagramme sont exactes. Les deux dernières colonnes aussi. Il en résulte que la
première colonne est exacte. D’où l’égalité |B| = |A||C|. On a
|B| = n
aM 2 c
G1,G2
M1,M2 ,
|C| = n
aM 2 c
G1,J 1 ,SC ,G2,J 2 ,SC
M1,sc,M2,sc
,
et
|A| = |Z( ˆ
G 2,J2 )
ΓF
|Z( ˆ
G 1,J1 )
ΓF
|
−1 = i
G1
J1 (i
G2
J2 )
−1 .
D’où (2), ce qui achève la preuve.
III.6.6 Germes de Shalika
On conserve les mêmes données. Pour i = 1,2, on sait définir le germe Sg
Gi
Mi,unip (B i )
au voisinage de l’origine dans M i (F ). Puisqu’il vit au voisinage de l’origine, on
peut le descendre par l’exponentielle en un germe sur l’algèbre de Lie que l’on note
Sg
Gi
Mi,nil (B i ). C’est un germe d’application linéaire
D
st
g´ eom,Gi -équi (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗
→ D
st
nil (g i (F )) ⊗ Mes(G i (F ))
∗ .
Remarquons que la notion d’élément G i -équisingulier se définit dans les algèbres
de Lie comme dans les groupes, cf. [II] 1.2.
Proposition (à prouver). On suppose que B 1 est constante. Pour i = 1, 2, soit δ i ∈
D
st
g´ eom,Gi -équi (m i (F ))⊗Mes(M i (F ))
∗ . Supposons que δ 1 et δ 2 se correspondent par
l’isomorphisme 6.4(2). Alors, si δ 1 et δ 2 sont assez voisins de l’origine, les termes
Sg
G1
M1,nil (δ 1 , B 1 ) et c
G1,G2
M1,M2 Sg
G2
M2,nil (δ 2 , B 2 ) se correspondent par l’isomorphisme
6.4 (1).
Cela sera prouvé en 8.7.