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Chapitre III. Réductions et preuves
Proposition (à prouver). On suppose que B 1 est constante. Pour i = 1, 2, soient
J i ∈ J
Gi
Mi (B i ) et δ i ∈ D
st
nil (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗ . On suppose que J 1 et J 2
se correspondent par la bijection entre les ensembles Σ(A Mi , B i ) et que δ 1 et δ 2
se correspondent par l’isomorphisme 6.4 (2). Alors, pour tout X 1 ∈ a M1 (F ) en
position générale et proche de 0, on a l’égalité
σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 )).
La démonstration sera donnée en 7.7. Montrons tout de suite que
(1) cette assertion est vérifiée si, pour i = 1, 2, J i n’est pas l’élément maximal de
Σ(A Mi , B i ).
Preuve. Pour i = 1, 2, on construit le groupe G i,Ji . D’après la proposition 1.2(i),
on a l’égalité
σ
Gi
Ji (δ i , X i ) = i
Gi
Ji σ
Gi,J i
Ji
(δ i , X i ).
Notons M i,sc l’image réciproque de M i dans G i,Ji,SC .
On peut fixer δ
i ∈ D
st
nil (m i,sc (F )) ⊗ Mes(M i,sc (F ))
∗ tel que
δ i = ι
∗
Mi,sc,Mi (δ
i ).
D’après le lemme 3.6, on a aussi
σ
Gi
Ji (δ i , X i ) = i
Gi
Ji ι
∗
Mi,sc,Mi (σ
Gi,J i ,SC
Ji
(δ
i , X i )).
Notons T i,sc l’image réciproque de T i dans G i,Ji,SC . On vérifie que j ∗ se restreint
en un isomorphisme de X ∗ (T 1,sc ) ⊗ Z Q sur X ∗ (T 2,sc ) ⊗ Z Q et que, en notant encore
j ∗ cette restriction, le triplet (G 1,J1,SC , G 2,J2,SC , j ∗ ) est encore endoscopique non
standard. Les distributions δ
1 et δ
2 se correspondent. En supposant que les J i ne
sont pas maximaux, on a dim(G i,Ji,SC ) < dim(G i ) et on peut appliquer le lemme
ci-dessus :
σ
G1,J 1 ,SC
J1
(δ
1 , X 1 ) = c
G1,J 1 ,SC ,G2,J 2 ,SC
M1,sc,M2,sc
σ
G2,J 2 ,SC
J2
(δ
2 , X 2 ).
Toutes ces égalités conduisent à l’égalité de l’énoncé pourvu que l’on ait
(2)
i
G1
J1 c
G1,J 1 ,SC ,G2,J 2 ,SC
M1,sc,M2,sc
= i
G2
J2 c
G1,G2
M1,M2 .
Remarquons que, puisque G i est simplement connexe pour i = 1, 2, on a simplement
i
Gi
Ji = |Z( ˆ
G i,Ji )
ΓF
|
−1 .
Chapitre III. Réductions et preuves
Proposition (à prouver). On suppose que B 1 est constante. Pour i = 1, 2, soient
J i ∈ J
Gi
Mi (B i ) et δ i ∈ D
st
nil (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗ . On suppose que J 1 et J 2
se correspondent par la bijection entre les ensembles Σ(A Mi , B i ) et que δ 1 et δ 2
se correspondent par l’isomorphisme 6.4 (2). Alors, pour tout X 1 ∈ a M1 (F ) en
position générale et proche de 0, on a l’égalité
σ
G1
J1 (δ 1 , X 1 ) = c
G1,G2
M1,M2 σ
G2
J2 (δ 2 , j ∗ (X 1 )).
La démonstration sera donnée en 7.7. Montrons tout de suite que
(1) cette assertion est vérifiée si, pour i = 1, 2, J i n’est pas l’élément maximal de
Σ(A Mi , B i ).
Preuve. Pour i = 1, 2, on construit le groupe G i,Ji . D’après la proposition 1.2(i),
on a l’égalité
σ
Gi
Ji (δ i , X i ) = i
Gi
Ji σ
Gi,J i
Ji
(δ i , X i ).
Notons M i,sc l’image réciproque de M i dans G i,Ji,SC .
On peut fixer δ
i ∈ D
st
nil (m i,sc (F )) ⊗ Mes(M i,sc (F ))
∗ tel que
δ i = ι
∗
Mi,sc,Mi (δ
i ).
D’après le lemme 3.6, on a aussi
σ
Gi
Ji (δ i , X i ) = i
Gi
Ji ι
∗
Mi,sc,Mi (σ
Gi,J i ,SC
Ji
(δ
i , X i )).
Notons T i,sc l’image réciproque de T i dans G i,Ji,SC . On vérifie que j ∗ se restreint
en un isomorphisme de X ∗ (T 1,sc ) ⊗ Z Q sur X ∗ (T 2,sc ) ⊗ Z Q et que, en notant encore
j ∗ cette restriction, le triplet (G 1,J1,SC , G 2,J2,SC , j ∗ ) est encore endoscopique non
standard. Les distributions δ
1 et δ
2 se correspondent. En supposant que les J i ne
sont pas maximaux, on a dim(G i,Ji,SC ) < dim(G i ) et on peut appliquer le lemme
ci-dessus :
σ
G1,J 1 ,SC
J1
(δ
1 , X 1 ) = c
G1,J 1 ,SC ,G2,J 2 ,SC
M1,sc,M2,sc
σ
G2,J 2 ,SC
J2
(δ
2 , X 2 ).
Toutes ces égalités conduisent à l’égalité de l’énoncé pourvu que l’on ait
(2)
i
G1
J1 c
G1,J 1 ,SC ,G2,J 2 ,SC
M1,sc,M2,sc
= i
G2
J2 c
G1,G2
M1,M2 .
Remarquons que, puisque G i est simplement connexe pour i = 1, 2, on a simplement
i
Gi
Ji = |Z( ˆ
G i,Ji )
ΓF
|
−1 .