III.6. Triplets endoscopiques non standard
385
Preuve. D’après la symétrie remarquée ci-dessus, on peut supposer que B 2 vérifie
ces hypothèses et on doit montrer que B 1 les vérifie aussi. Les conditions d’équivariance résultent de celles vérifiées par B 2 et par la correspondance entre racines.
Il faut vérifier que, sur un sous-système irréductible de Σ(T 1 ) sur lequel on fixe
une norme euclidienne possédant les propriétés usuelles, B 1 est soit constante,
soit proportionnelle à la fonction α 1 → (α 1 , α 1 ). Fixons un tel sous-système. L’ensemble des α 2 ∈ Σ(T 2 ) tels que τ (α 2 ) appartient à ce sous-système forme un
sous-système irréductible de Σ(T 2 ). On est ramené à ces deux sous-systèmes irréductibles. En oubliant les actions galoisiennes qui ne jouent plus de rôle ici, on
peut aussi bien supposer Σ(T 2 ) et Σ(T 1 ) irréductibles. On a rappelé en 6.1 tous les
cas possibles, à homothétie près (et il est clair que la question est insensible à une
homothétie). Si j ∗ est l’identité, l’assertion est claire. Dans les quatre autres cas,
on constate qu’en munissant nos systèmes de produits euclidiens comme ci-dessus,
il existe des constantes c 1 , c 2 > 0 telles que, pour tout α 2 ∈ Σ(T 2 ), on a les égalités
b(α 2 ) = c 2 (α 2 , α 2 ) = c 1 (α 1 , α 1 )
−1 , où α 1 = τ (α 2 ). Si B 2 est constante, alors B 1
est proportionnelle à α 1 → (α 1 , α 1 ). Si B 2 est proportionnelle à α 2 → (α 2 , α 2 ),
alors B 1 est constante.
Fixons un tel couple de fonctions vérifiant les hypothèses de [II] 1.8. Fixons
deux Levi M 1 et M 2 qui se correspondent. L’isomorphisme j ∗ définit un isomorphisme encore noté j ∗ : A M1 → A M2 . Soit α 2 ∈ Σ(T 2 ), posons α 1 = τ (α 2 ) et, pour
i = 1, 2, notons α
i la restriction de B i (α i )
−1 α i à A Mi . Il résulte des définitions
que α
2 ◦ j ∗ = α
1 . Donc, par dualité, j ∗ détermine une bijection de Σ(A M2 , B 2 )
sur Σ(A M1 , B 1 ). Cette bijection est compatible aux équivalences sur chacun de ces
ensembles. On a donc aussi une bijection de J
G2
M2 (B 2 ) sur J
G1
M1 (B 1 ). Pour i = 1, 2,
soit J i ∈ J
Gi
Mi (B i ). On suppose que J 1 et J 2 se correspondent par cette bijection.
Soit u ∈ U J2 . Via l’exponentielle, on considère que u est un germe de fonctions
défini au voisinage de 0 dans a M2 (F ). On vérifie que la fonction X 1 → u(j ∗ (X 1 ))
sur a M1 (F ) appartient à U J1 . En composant avec l’exponentielle la définition de
[II] 3.5, on obtient une application linéaire
σ
Gi
Ji : D
st
nil (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗
→ U Ji ⊗ (D
st
nil (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗ )/Ann
Gi,st
nil .
En reprenant la preuve du lemme [II] 3.1 , on voit que l’isomorphisme (2) envoie
Ann
G1,st
nil
sur Ann
G2,st
nil .
Remarquons que J 1 est l’élément maximal de Σ(A M1 , B 1 ) si et seulement si
J 2 est l’élément maximal de Σ(A M2 , B 2 ).
III.6.5 Les termes σ J
Soient (G 1 , G 2 , j ∗ ) un triplet endoscopique non standard, B 1 et B 2 deux fonctions
comme en 6.5 vérifiant toutes deux les hypothèses de [II] 1.8 et M 1 et M 2 deux
Levi qui se correspondent.
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Preuve. D’après la symétrie remarquée ci-dessus, on peut supposer que B 2 vérifie
ces hypothèses et on doit montrer que B 1 les vérifie aussi. Les conditions d’équivariance résultent de celles vérifiées par B 2 et par la correspondance entre racines.
Il faut vérifier que, sur un sous-système irréductible de Σ(T 1 ) sur lequel on fixe
une norme euclidienne possédant les propriétés usuelles, B 1 est soit constante,
soit proportionnelle à la fonction α 1 → (α 1 , α 1 ). Fixons un tel sous-système. L’ensemble des α 2 ∈ Σ(T 2 ) tels que τ (α 2 ) appartient à ce sous-système forme un
sous-système irréductible de Σ(T 2 ). On est ramené à ces deux sous-systèmes irréductibles. En oubliant les actions galoisiennes qui ne jouent plus de rôle ici, on
peut aussi bien supposer Σ(T 2 ) et Σ(T 1 ) irréductibles. On a rappelé en 6.1 tous les
cas possibles, à homothétie près (et il est clair que la question est insensible à une
homothétie). Si j ∗ est l’identité, l’assertion est claire. Dans les quatre autres cas,
on constate qu’en munissant nos systèmes de produits euclidiens comme ci-dessus,
il existe des constantes c 1 , c 2 > 0 telles que, pour tout α 2 ∈ Σ(T 2 ), on a les égalités
b(α 2 ) = c 2 (α 2 , α 2 ) = c 1 (α 1 , α 1 )
−1 , où α 1 = τ (α 2 ). Si B 2 est constante, alors B 1
est proportionnelle à α 1 → (α 1 , α 1 ). Si B 2 est proportionnelle à α 2 → (α 2 , α 2 ),
alors B 1 est constante.
Fixons un tel couple de fonctions vérifiant les hypothèses de [II] 1.8. Fixons
deux Levi M 1 et M 2 qui se correspondent. L’isomorphisme j ∗ définit un isomorphisme encore noté j ∗ : A M1 → A M2 . Soit α 2 ∈ Σ(T 2 ), posons α 1 = τ (α 2 ) et, pour
i = 1, 2, notons α
i la restriction de B i (α i )
−1 α i à A Mi . Il résulte des définitions
que α
2 ◦ j ∗ = α
1 . Donc, par dualité, j ∗ détermine une bijection de Σ(A M2 , B 2 )
sur Σ(A M1 , B 1 ). Cette bijection est compatible aux équivalences sur chacun de ces
ensembles. On a donc aussi une bijection de J
G2
M2 (B 2 ) sur J
G1
M1 (B 1 ). Pour i = 1, 2,
soit J i ∈ J
Gi
Mi (B i ). On suppose que J 1 et J 2 se correspondent par cette bijection.
Soit u ∈ U J2 . Via l’exponentielle, on considère que u est un germe de fonctions
défini au voisinage de 0 dans a M2 (F ). On vérifie que la fonction X 1 → u(j ∗ (X 1 ))
sur a M1 (F ) appartient à U J1 . En composant avec l’exponentielle la définition de
[II] 3.5, on obtient une application linéaire
σ
Gi
Ji : D
st
nil (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗
→ U Ji ⊗ (D
st
nil (m i (F )) ⊗ Mes(M i (F ))
∗ )/Ann
Gi,st
nil .
En reprenant la preuve du lemme [II] 3.1 , on voit que l’isomorphisme (2) envoie
Ann
G1,st
nil
sur Ann
G2,st
nil .
Remarquons que J 1 est l’élément maximal de Σ(A M1 , B 1 ) si et seulement si
J 2 est l’élément maximal de Σ(A M2 , B 2 ).
III.6.5 Les termes σ J
Soient (G 1 , G 2 , j ∗ ) un triplet endoscopique non standard, B 1 et B 2 deux fonctions
comme en 6.5 vérifiant toutes deux les hypothèses de [II] 1.8 et M 1 et M 2 deux
Levi qui se correspondent.