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Chapitre III. Réductions et preuves
SI(g 1 (F )) ⊗ Mes(G 1 (F )) SI(g 2 (F )) ⊗ Mes(G 2 (F )), d’où, par dualité, un isomorphisme
(1)
D
st
g´ eom (g 1 (F )) ⊗ Mes(G 1 (F ))
∗
D
st
g´ eom (g 2 (F )) ⊗ Mes(G 2 (F ))
∗ .
L’application j ∗ induit une bijection entre Levi standard de G 1 et Levi standard
de G 2 . Soient M 1 et M 2 deux tels Levi qui se correspondent. On a comme ci-dessus
un isomorphisme
(2)
D
st
g´ eom (m 1 (F )) ⊗ Mes(M 1 (F ))
∗
D
st
g´ eom (m 2 (F )) ⊗ Mes(M 2 (F ))
∗ .
Ces isomorphismes se restreignent évidemment aux espaces de distributions à support nilpotent, notés D
st
nil (g 1 (F )) etc. . .
Pour définir des intégrales pondérées, on doit fixer des mesures sur A Mi pour
i = 1, 2. De l’application j ∗ se déduit un isomorphisme A M1 A M2 et on suppose
que les mesures se correspondent par cet isomorphisme.
On doit encore définir une certaine constante. Fixons des paires de Borel
invariantes par Γ F des groupes duaux ˆ
G i , pour i = 1, 2, dont on note les tores
ˆ
T i . Soit n > 0 un entier tel que nb prenne ses valeurs dans N >0 (la fonction
b est définie en 6.1). Alors nj
∗ envoie le réseau engendré par Σ(T 2 ) dans celui
engendré par Σ(T 1 ). De nj
∗ se déduit dualement un homomorphisme de ˆ
T 2 dans
ˆ
T 1 . On vérifie qu’il envoie Z( ˆ
M 2 ) dans Z( ˆ
M 1 ). Il est équivariant et on obtient un
homomorphisme
ˆ j n : Z( ˆ
M 2 )
ΓF
→ Z( ˆ
M 1 )
ΓF .
Puisque G 1 et G 2 sont simplement connexes, leurs groupes duaux sont adjoints
et les groupes ci-dessus sont connexes. Cela entraîne que l’homomorphisme est
surjectif. Son noyau est fini. On pose
c
G1,G2
M1,M2 = n
−aM 2 | ker( ˆ j n )|,
où, comme toujours, a M2 est la dimension de A M2 . Cela ne dépend pas du choix
de n. En effet, si l’on remplace n par nm, pour un entier m ≥ 1, on a l’égalité
ˆ j nm = ( ˆ j n )
m , donc le nombre d’éléments du noyau est multiplié par m élevé à la
puissance dim(Z( ˆ
M 2 )
ΓF ). Or cette dimension est égale à a M2 et le terme défini
ci-dessus ne change pas.
Pour i = 1, 2 soit B i une fonction sur Σ(T i ) à valeurs dans l’ensemble Q >0 des
rationnels strictement positifs. On suppose ces fonctions reliées par la condition
suivante :
– pour tout α 2 ∈ Σ(T 2 ), B 1 (τ (α 2 )) =
B2(α2)
b(α2) .
Remarquons que cette condition est symétrique en le sens suivant. Le triplet
(G 2 , G 1 , j
−1
∗ ) est encore endoscopique non standard. L’analogue de la bijection τ
pour ce triplet est τ
−1 . L’analogue de la fonction b est la fonction b
définie par
b
(α 1 ) = b(τ
−1 (α 1 ))
−1 . Alors le couple (B 2 , B 1 ) vérifie encore l’hypothèse ci-dessus
pour ce triplet. Montrons que
(3) la fonction B 1 vérifie les hypothèses de [II] 1.8 si et seulement si B 2 les vérifie.
Chapitre III. Réductions et preuves
SI(g 1 (F )) ⊗ Mes(G 1 (F )) SI(g 2 (F )) ⊗ Mes(G 2 (F )), d’où, par dualité, un isomorphisme
(1)
D
st
g´ eom (g 1 (F )) ⊗ Mes(G 1 (F ))
∗
D
st
g´ eom (g 2 (F )) ⊗ Mes(G 2 (F ))
∗ .
L’application j ∗ induit une bijection entre Levi standard de G 1 et Levi standard
de G 2 . Soient M 1 et M 2 deux tels Levi qui se correspondent. On a comme ci-dessus
un isomorphisme
(2)
D
st
g´ eom (m 1 (F )) ⊗ Mes(M 1 (F ))
∗
D
st
g´ eom (m 2 (F )) ⊗ Mes(M 2 (F ))
∗ .
Ces isomorphismes se restreignent évidemment aux espaces de distributions à support nilpotent, notés D
st
nil (g 1 (F )) etc. . .
Pour définir des intégrales pondérées, on doit fixer des mesures sur A Mi pour
i = 1, 2. De l’application j ∗ se déduit un isomorphisme A M1 A M2 et on suppose
que les mesures se correspondent par cet isomorphisme.
On doit encore définir une certaine constante. Fixons des paires de Borel
invariantes par Γ F des groupes duaux ˆ
G i , pour i = 1, 2, dont on note les tores
ˆ
T i . Soit n > 0 un entier tel que nb prenne ses valeurs dans N >0 (la fonction
b est définie en 6.1). Alors nj
∗ envoie le réseau engendré par Σ(T 2 ) dans celui
engendré par Σ(T 1 ). De nj
∗ se déduit dualement un homomorphisme de ˆ
T 2 dans
ˆ
T 1 . On vérifie qu’il envoie Z( ˆ
M 2 ) dans Z( ˆ
M 1 ). Il est équivariant et on obtient un
homomorphisme
ˆ j n : Z( ˆ
M 2 )
ΓF
→ Z( ˆ
M 1 )
ΓF .
Puisque G 1 et G 2 sont simplement connexes, leurs groupes duaux sont adjoints
et les groupes ci-dessus sont connexes. Cela entraîne que l’homomorphisme est
surjectif. Son noyau est fini. On pose
c
G1,G2
M1,M2 = n
−aM 2 | ker( ˆ j n )|,
où, comme toujours, a M2 est la dimension de A M2 . Cela ne dépend pas du choix
de n. En effet, si l’on remplace n par nm, pour un entier m ≥ 1, on a l’égalité
ˆ j nm = ( ˆ j n )
m , donc le nombre d’éléments du noyau est multiplié par m élevé à la
puissance dim(Z( ˆ
M 2 )
ΓF ). Or cette dimension est égale à a M2 et le terme défini
ci-dessus ne change pas.
Pour i = 1, 2 soit B i une fonction sur Σ(T i ) à valeurs dans l’ensemble Q >0 des
rationnels strictement positifs. On suppose ces fonctions reliées par la condition
suivante :
– pour tout α 2 ∈ Σ(T 2 ), B 1 (τ (α 2 )) =
B2(α2)
b(α2) .
Remarquons que cette condition est symétrique en le sens suivant. Le triplet
(G 2 , G 1 , j
−1
∗ ) est encore endoscopique non standard. L’analogue de la bijection τ
pour ce triplet est τ
−1 . L’analogue de la fonction b est la fonction b
définie par
b
(α 1 ) = b(τ
−1 (α 1 ))
−1 . Alors le couple (B 2 , B 1 ) vérifie encore l’hypothèse ci-dessus
pour ce triplet. Montrons que
(3) la fonction B 1 vérifie les hypothèses de [II] 1.8 si et seulement si B 2 les vérifie.