III.6. Triplets endoscopiques non standard
383
III.6.3 Mise en place des récurrences
On aura a prouver des assertions concernant soit un triplet (G, ˜
G, a) comme en
[II] 1.1, soit un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). Concernant les
triplets (G, ˜
G, a), on conserve les hypothèses de récurrence posées en [II] 1.1. Mais
il nous faut intercaler les hypothèses concernant ces triplets et celles concernant
les triplets endoscopiques non standard.
Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé
et à torsion intérieure, on ne pose aucune hypothèse concernant les triplets endoscopiques non standard. Les seuls tels triplets intervenant dans ce cas sont triviaux
(du cas (1) de 6.1) et leurs propriétés sont tautologiques.
Dans les autres cas, on raisonne par récurrence sur un entier N ≥ 0.
Pour démontrer une assertion concernant l’un des triplets particuliers
(G, ˜
G, a) définis en 6.2 tel que dim(G SC ) = N , on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets endoscopiques non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) tels que
N (G 1 , G 2 , j ∗ ) < N (en plus, naturellement, des hypothèses posées en [II] 1.1). Pour
démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) tel que dim(G SC ) = N et
qui n’est pas l’un des triplets particuliers définis en 6.2, on suppose connues toutes
les assertions concernant des triplets endoscopiques non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) tels
que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) ≤ N .
Pour démontrer une assertion concernant un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) tel que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = N , on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets endoscopiques non standard (G
1 , G
2 , j
∗ ) tels que
N (G
1 , G
2 , j
∗ ) < N. On suppose connues toutes les assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que dim(G
SC ) ≤ N . On
suppose connues toutes les assertions concernant les triplets (G
, ˜
G
, a
) définis en
6.2 tels que dim(G
SC ) = N . On suppose connues toutes les assertions concernant
des triplets (G
, ˜
G
, a
) quelconques tels que dim(G
SC ) < N.
En raisonnant ainsi, on a les deux propriétés suivantes :
– quand on travaille avec un triplet (G, ˜
G, a), il y a au plus un nombre fini
de classes de conjugaison stable d’éléments η ∈ ˜
G(F ) qui peuvent créer des
triplets endoscopiques non-standard dont les propriétés ne sont pas connues ;
– quand on travaille avec un triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ), on peut le décomposer en
produit de triplets équivalents à des triplets quasi- élémentaires qui, ou bien
sont de type (1), auquel cas on démontrera directement les propriétés en vue,
ou bien sont issus d’un couple (, η) provenant d’un triplet (G, ˜
G, a) dont les
propriétés sont déjà connues.
III.6.4 Quelques définitions
On considère dans ce paragraphe un triplet endoscopique non standard (G 1 ,G 2 ,j ∗ ).
On utilise les notations de 6.1. De j ∗ se déduit une correspondance bijective entre
classes de conjugaison stable dans g 1 (F ) et g 2 (F ). Il s’en déduit un isomorphisme
383
III.6.3 Mise en place des récurrences
On aura a prouver des assertions concernant soit un triplet (G, ˜
G, a) comme en
[II] 1.1, soit un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). Concernant les
triplets (G, ˜
G, a), on conserve les hypothèses de récurrence posées en [II] 1.1. Mais
il nous faut intercaler les hypothèses concernant ces triplets et celles concernant
les triplets endoscopiques non standard.
Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé
et à torsion intérieure, on ne pose aucune hypothèse concernant les triplets endoscopiques non standard. Les seuls tels triplets intervenant dans ce cas sont triviaux
(du cas (1) de 6.1) et leurs propriétés sont tautologiques.
Dans les autres cas, on raisonne par récurrence sur un entier N ≥ 0.
Pour démontrer une assertion concernant l’un des triplets particuliers
(G, ˜
G, a) définis en 6.2 tel que dim(G SC ) = N , on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets endoscopiques non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) tels que
N (G 1 , G 2 , j ∗ ) < N (en plus, naturellement, des hypothèses posées en [II] 1.1). Pour
démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) tel que dim(G SC ) = N et
qui n’est pas l’un des triplets particuliers définis en 6.2, on suppose connues toutes
les assertions concernant des triplets endoscopiques non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) tels
que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) ≤ N .
Pour démontrer une assertion concernant un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) tel que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = N , on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets endoscopiques non standard (G
1 , G
2 , j
∗ ) tels que
N (G
1 , G
2 , j
∗ ) < N. On suppose connues toutes les assertions concernant des triplets (G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que dim(G
SC ) ≤ N . On
suppose connues toutes les assertions concernant les triplets (G
, ˜
G
, a
) définis en
6.2 tels que dim(G
SC ) = N . On suppose connues toutes les assertions concernant
des triplets (G
, ˜
G
, a
) quelconques tels que dim(G
SC ) < N.
En raisonnant ainsi, on a les deux propriétés suivantes :
– quand on travaille avec un triplet (G, ˜
G, a), il y a au plus un nombre fini
de classes de conjugaison stable d’éléments η ∈ ˜
G(F ) qui peuvent créer des
triplets endoscopiques non-standard dont les propriétés ne sont pas connues ;
– quand on travaille avec un triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ), on peut le décomposer en
produit de triplets équivalents à des triplets quasi- élémentaires qui, ou bien
sont de type (1), auquel cas on démontrera directement les propriétés en vue,
ou bien sont issus d’un couple (, η) provenant d’un triplet (G, ˜
G, a) dont les
propriétés sont déjà connues.
III.6.4 Quelques définitions
On considère dans ce paragraphe un triplet endoscopique non standard (G 1 ,G 2 ,j ∗ ).
On utilise les notations de 6.1. De j ∗ se déduit une correspondance bijective entre
classes de conjugaison stable dans g 1 (F ) et g 2 (F ). Il s’en déduit un isomorphisme