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Chapitre III. Réductions et preuves
élémentaire (G 1 , G 2 , j ∗ ) déduit par restriction des scalaires de F
à F d’un triplet
de l’un des types (2), (3), (4) ou (5) de 6.1. On lui associe un système de racines
et un automorphisme θ
∗ de ce système :
– dans le cas (2), le système est D n+1 si n ≥ 3 et A 3 si n = 2 ; θ
∗ est d’ordre 2 ;
– dans le cas (3), le système est A 2n−1 et θ
∗ est d’ordre 2 ;
– dans le cas (4), le système est E 6 et θ
∗ est d’ordre 2 ;
– dans le cas (5), le système est D 4 et θ
∗ est d’ordre 3.
Par la construction ci-dessus, ce système, cet automorphisme et l’extension F
déterminent un couple (G, ˜
G), que l’on complète par le cocycle a = 1. On introduit
comme ci-dessus la donnée endoscopique maximale G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W F , ˆ
θ). Soit
η ∈ Θ F et son image dans ˜
G
(F ). On vérifie que le couple (, η) donne naissance
comme en 5.1 au triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). Les groupes G 1 et
G 2 sont respectivement égaux à G η et G
= G
, ces deux groupes étant simplement
connexes.
Lemme. Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a), η un élément semi-simple de ˜
G(F ) et un élément semi-simple de ˜
G
(F ) qui se correspondent. Notons (G
1 , G
2 , j
∗ ) le triplet endoscopique non standard auquel ils
donnent naissance. Supposons que G
ne soit pas équivalente à la donnée maximale ou que η ne soit pas stablement conjugué à un élément de Θ F . Alors on a
l’inégalité N (G
1 , G
2 , j
∗ ) < dim(G SC ).
Preuve. En vertu du lemme 6.1, il s’agit d’exclure l’égalité
N (G
1 , G
2 , j
∗ ) = dim(G SC ).
On reprend la démonstration de ce lemme en étudiant les cas où les inégalités
de rang peuvent devenir des égalités. On s’aperçoit que, si on a égalité, l’élément
t de cette démonstration est égal à 1 et le triplet (G
1 , G
2 , j
∗ ) est notre triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ) de départ. L’égalité t = 1 signifie que η appartient à Θ. Puisque η
appartient à ˜
G(F ), son image e dans Z( ˜
G) est fixe par Γ F . D’après (3), il existe
η 0 ∈ Θ F qui a e pour image. D’après [I] 1.3(7), η est stablement conjugué à η 0 . On
connaît le système de racines de G
1 : c’est l’ensemble Σ 2 de [79] 3.3. La description
de cette référence se simplifie car notre groupe G n’a que des racines de type 1.
En supposant ˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T , on voit que l’égalité G
1 = G 1 = G η0 entraîne
que, pour toute racine ˆ
α de ˆ
T , on a N ˆ
α(s) = 1. Par le même argument que dans
la preuve de (4), et parce que le groupe ˆ
G est adjoint, cette condition implique
s ∈ (1− ˆ
θ)( ˆ
T ). Quitte à remplacer G
par une donnée équivalente, on peut supposer
s = 1 et ˜
s = ˆ
θ. Puisque Z( ˆ
G) = {1}, on a une relation s ˆ
θ(g)w(s)
−1 = g pour
tout (g, w) ∈ G
. Puisque s = 1, cette relation se simplifie en g ∈ ˆ
G
ˆ
θ . Mais ce
groupe est connexe ([48] 1.1) donc g ∈ ˆ
G ˆ
θ et G
= ˆ
G
ˆ
θ
W F . Alors la donnée G
est équivalente à la donnée «maximale». Mais alors, on est dans la situation que
l’énoncé exclut.
Chapitre III. Réductions et preuves
élémentaire (G 1 , G 2 , j ∗ ) déduit par restriction des scalaires de F
à F d’un triplet
de l’un des types (2), (3), (4) ou (5) de 6.1. On lui associe un système de racines
et un automorphisme θ
∗ de ce système :
– dans le cas (2), le système est D n+1 si n ≥ 3 et A 3 si n = 2 ; θ
∗ est d’ordre 2 ;
– dans le cas (3), le système est A 2n−1 et θ
∗ est d’ordre 2 ;
– dans le cas (4), le système est E 6 et θ
∗ est d’ordre 2 ;
– dans le cas (5), le système est D 4 et θ
∗ est d’ordre 3.
Par la construction ci-dessus, ce système, cet automorphisme et l’extension F
déterminent un couple (G, ˜
G), que l’on complète par le cocycle a = 1. On introduit
comme ci-dessus la donnée endoscopique maximale G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W F , ˆ
θ). Soit
η ∈ Θ F et son image dans ˜
G
(F ). On vérifie que le couple (, η) donne naissance
comme en 5.1 au triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). Les groupes G 1 et
G 2 sont respectivement égaux à G η et G
= G
, ces deux groupes étant simplement
connexes.
Lemme. Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a), η un élément semi-simple de ˜
G(F ) et un élément semi-simple de ˜
G
(F ) qui se correspondent. Notons (G
1 , G
2 , j
∗ ) le triplet endoscopique non standard auquel ils
donnent naissance. Supposons que G
ne soit pas équivalente à la donnée maximale ou que η ne soit pas stablement conjugué à un élément de Θ F . Alors on a
l’inégalité N (G
1 , G
2 , j
∗ ) < dim(G SC ).
Preuve. En vertu du lemme 6.1, il s’agit d’exclure l’égalité
N (G
1 , G
2 , j
∗ ) = dim(G SC ).
On reprend la démonstration de ce lemme en étudiant les cas où les inégalités
de rang peuvent devenir des égalités. On s’aperçoit que, si on a égalité, l’élément
t de cette démonstration est égal à 1 et le triplet (G
1 , G
2 , j
∗ ) est notre triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ) de départ. L’égalité t = 1 signifie que η appartient à Θ. Puisque η
appartient à ˜
G(F ), son image e dans Z( ˜
G) est fixe par Γ F . D’après (3), il existe
η 0 ∈ Θ F qui a e pour image. D’après [I] 1.3(7), η est stablement conjugué à η 0 . On
connaît le système de racines de G
1 : c’est l’ensemble Σ 2 de [79] 3.3. La description
de cette référence se simplifie car notre groupe G n’a que des racines de type 1.
En supposant ˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T , on voit que l’égalité G
1 = G 1 = G η0 entraîne
que, pour toute racine ˆ
α de ˆ
T , on a N ˆ
α(s) = 1. Par le même argument que dans
la preuve de (4), et parce que le groupe ˆ
G est adjoint, cette condition implique
s ∈ (1− ˆ
θ)( ˆ
T ). Quitte à remplacer G
par une donnée équivalente, on peut supposer
s = 1 et ˜
s = ˆ
θ. Puisque Z( ˆ
G) = {1}, on a une relation s ˆ
θ(g)w(s)
−1 = g pour
tout (g, w) ∈ G
. Puisque s = 1, cette relation se simplifie en g ∈ ˆ
G
ˆ
θ . Mais ce
groupe est connexe ([48] 1.1) donc g ∈ ˆ
G ˆ
θ et G
= ˆ
G
ˆ
θ
W F . Alors la donnée G
est équivalente à la donnée «maximale». Mais alors, on est dans la situation que
l’énoncé exclut.