III.6. Triplets endoscopiques non standard
381
Puisque G est simplement connexe, ˆ
G est adjoint et H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) = {1}.
Complétons le couple (G, ˜
G) par l’unique cocycle possible a = 1. Remarquons que,
pour toute donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a), le choix d’un élément
η ∈ Θ F permet d’identifier ˜
G
à G
de la façon suivante. On note e l’image de η
dans Z( ˜
G). Cet élément est fixe par Γ F . En se rappelant que ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G),
l’application qui, à x ∈ G
, associe l’image de (x, e) dans ˜
G
identifie G
à ˜
G
.
On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) ˆ
α∈Δ ) de
ˆ
G, conservée par l’action galoisienne et on note ˆ
θ l’automorphisme habituel qui
la conserve. Introduisons la donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) «maximale» de
(G, ˜
G, a) définie par ˜
s = ˆ
θ et G
= ˆ
G ˆ
θ W F . On suppose désormais que le système
de racines de départ ne contient pas de composante de type A 2n . On a
(4) les applications naturelles Z(G) = Z(G)/(1 − θ)(Z(G)) → Z(G
) et Z( ˜
G) →
Z( ˜
G
) sont bijectives.
Preuve. Puisque les ensembles Z( ˜
G) et Z( ˜
G
) sont des espaces principaux homogènes sous respectivement Z(G) et Z(G
), la bijectivité de la deuxième application
résulte de celle de la première. Fixons des paires de Borel (B, T ) de G et (B
, T
)
de G
. Notons Σ(T ) et Σ(T
) les ensembles de racines de T dans g et de T
dans
g
. On a un homomorphisme ξ : T → T
qui se quotiente en un isomorphisme
T /(1 − θ)(T ) T
. La description de [I] 1.6 se simplifie puisque, d’après l’hypothèse sur le système de racines, tous les éléments de Σ(T ) sont de type 1. On obtient
que Σ(T
) est l’ensemble des N α pour α ∈ Σ(T ). Soit t ∈ T tel que ξ(t) ∈ Z(G
).
Alors N α(t) = 1 pour tout α ∈ Σ(T ). Puisque θ permute la base de X ∗ (T ad )
formée des copoids associés aux racines simples, on voit que cette condition implique que l’image t ad de t dans T ad appartient à (1 − θ)(T ad ). Il en résulte que
t ∈ Z(G)(1 − θ)(T ). Alors ξ(t) est aussi l’image par ξ d’un élément de Z(G). Cela
prouve la surjectivité de la première application de (3). Pour prouver son injectivité, il suffit de prouver celle de l’application Z(G)/(1 − θ)(Z(G)) → T /(1 − θ)(T ),
ou encore de prouver que Z(G) ∩ (1 − θ)(T ) = (1 − θ)(Z(G)). Or, soit t ∈ T tel
que (1 − θ)(t) ∈ Z(G). Alors t ad ∈ T
θ
ad . Puisque ce tore est connexe, l’application
T
θ
→ T
θ
ad est surjective et on peut écrire t = zt
, avec z ∈ Z(G) et t
∈ T
θ . Alors
(1 − θ)(t) = (1 − θ)(z) ∈ (1 − θ)(Z(G)).
Soit η ∈ Θ F . On l’envoie sur un élément de Z( ˜
G), puis sur un élément
∈ Z( ˜
G
). On a ∈ ˜
G
(F ). Fixons un élément E ∈ Epingl
ΓF
η dont on note (B, T )
la paire de Borel sous-jacente et fixons une paire de Borel (B
, T
) de G
définie
sur F . Le sextuplet (, B
, T
, B, T, η) est un diagramme. A l’aide de la description des ensembles de racines de [79] 3.3, on vérifie aisément que G η et G
= G
sont simplement connexes. La correspondance η → se quotiente en une bijection
entre l’ensemble de classes de conjugaison stable Θ F / st-conj et l’ensemble des
classes de conjugaison stable d’éléments de Z( ˜
G
)
ΓF (ces dernières classes étant
réduites à un élément). Il est assez clair qu’inversement, une classe de conjugaison
stable dans ˜
G
(F ) qui correspond à une classe dans Θ F / st-conj est la classe définie par cette bijection. Considérons un triplet endoscopique non standard quasi-
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Puisque G est simplement connexe, ˆ
G est adjoint et H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) = {1}.
Complétons le couple (G, ˜
G) par l’unique cocycle possible a = 1. Remarquons que,
pour toute donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a), le choix d’un élément
η ∈ Θ F permet d’identifier ˜
G
à G
de la façon suivante. On note e l’image de η
dans Z( ˜
G). Cet élément est fixe par Γ F . En se rappelant que ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G),
l’application qui, à x ∈ G
, associe l’image de (x, e) dans ˜
G
identifie G
à ˜
G
.
On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) ˆ
α∈Δ ) de
ˆ
G, conservée par l’action galoisienne et on note ˆ
θ l’automorphisme habituel qui
la conserve. Introduisons la donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) «maximale» de
(G, ˜
G, a) définie par ˜
s = ˆ
θ et G
= ˆ
G ˆ
θ W F . On suppose désormais que le système
de racines de départ ne contient pas de composante de type A 2n . On a
(4) les applications naturelles Z(G) = Z(G)/(1 − θ)(Z(G)) → Z(G
) et Z( ˜
G) →
Z( ˜
G
) sont bijectives.
Preuve. Puisque les ensembles Z( ˜
G) et Z( ˜
G
) sont des espaces principaux homogènes sous respectivement Z(G) et Z(G
), la bijectivité de la deuxième application
résulte de celle de la première. Fixons des paires de Borel (B, T ) de G et (B
, T
)
de G
. Notons Σ(T ) et Σ(T
) les ensembles de racines de T dans g et de T
dans
g
. On a un homomorphisme ξ : T → T
qui se quotiente en un isomorphisme
T /(1 − θ)(T ) T
. La description de [I] 1.6 se simplifie puisque, d’après l’hypothèse sur le système de racines, tous les éléments de Σ(T ) sont de type 1. On obtient
que Σ(T
) est l’ensemble des N α pour α ∈ Σ(T ). Soit t ∈ T tel que ξ(t) ∈ Z(G
).
Alors N α(t) = 1 pour tout α ∈ Σ(T ). Puisque θ permute la base de X ∗ (T ad )
formée des copoids associés aux racines simples, on voit que cette condition implique que l’image t ad de t dans T ad appartient à (1 − θ)(T ad ). Il en résulte que
t ∈ Z(G)(1 − θ)(T ). Alors ξ(t) est aussi l’image par ξ d’un élément de Z(G). Cela
prouve la surjectivité de la première application de (3). Pour prouver son injectivité, il suffit de prouver celle de l’application Z(G)/(1 − θ)(Z(G)) → T /(1 − θ)(T ),
ou encore de prouver que Z(G) ∩ (1 − θ)(T ) = (1 − θ)(Z(G)). Or, soit t ∈ T tel
que (1 − θ)(t) ∈ Z(G). Alors t ad ∈ T
θ
ad . Puisque ce tore est connexe, l’application
T
θ
→ T
θ
ad est surjective et on peut écrire t = zt
, avec z ∈ Z(G) et t
∈ T
θ . Alors
(1 − θ)(t) = (1 − θ)(z) ∈ (1 − θ)(Z(G)).
Soit η ∈ Θ F . On l’envoie sur un élément de Z( ˜
G), puis sur un élément
∈ Z( ˜
G
). On a ∈ ˜
G
(F ). Fixons un élément E ∈ Epingl
ΓF
η dont on note (B, T )
la paire de Borel sous-jacente et fixons une paire de Borel (B
, T
) de G
définie
sur F . Le sextuplet (, B
, T
, B, T, η) est un diagramme. A l’aide de la description des ensembles de racines de [79] 3.3, on vérifie aisément que G η et G
= G
sont simplement connexes. La correspondance η → se quotiente en une bijection
entre l’ensemble de classes de conjugaison stable Θ F / st-conj et l’ensemble des
classes de conjugaison stable d’éléments de Z( ˜
G
)
ΓF (ces dernières classes étant
réduites à un élément). Il est assez clair qu’inversement, une classe de conjugaison
stable dans ˜
G
(F ) qui correspond à une classe dans Θ F / st-conj est la classe définie par cette bijection. Considérons un triplet endoscopique non standard quasi-