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Chapitre III. Réductions et preuves
sur F
associé au système de racines et à son automorphisme. On note (G, ˜
G) le
couple sur F déduit de (G F , ˜
G F ) par restriction des scalaires.
Fixons un tel couple (G, ˜
G). Pour η ∈ ˜
G, on note Epingl η l’ensemble des
paires de Borel épinglées conservées par ad η . On note Θ l’ensemble des η ∈ ˜
G tels
que Epingl η ne soit pas vide. On note Θ/ conj l’ensemble des classes de conjugaison
par G dans Θ. En [I] 1.3(7), on a défini une bijection
(1) Θ/ conj → Z( ˜
G).
Parce que G est simplement connexe, on a la propriété supplémentaire suivante. Soient η ∈ Θ et E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) ∈ Epingl η . Posons θ = ad η . Alors
(2) Z G (η) et T
θ sont connexes.
Pour η ∈ ˜
G(F ), Γ F agit sur Epingl η . Notons Θ F l’ensemble des η ∈ ˜
G(F ) tels
que Epingl
ΓF
η = ∅. Par construction, l’ensemble Θ F contient θ
∗ et n’est donc pas
vide. On a Θ F ⊂ Θ
ΓF et l’application Θ → Z( ˜
G) déduite de (1) se restreint en une
application Θ F → Z( ˜
G)
ΓF . L’ensemble Θ F n’a pas de raison d’être invariant par
conjugaison stable. On peut néanmoins introduire la relation d’équivalence dans
Θ F : deux éléments sont équivalents si et seulement s’ils sont stablement conjugués.
On note Θ F / st-conj l’ensemble des classes d’équivalence. Remarquons que, d’après
(2), la classe de conjugaison stable d’un élément η ∈ Θ F est l’intersection de
˜
G(F ) avec la classe de conjugaison par G( ¯
F ) de η. On en déduit une injection
Θ F / st-conj → Θ/ conj. Montrons que
(3) l’application (1) se restreint en une bijection Θ F / st-conj Z( ˜
G)
ΓF .
Preuve. D’après (1), cette restriction est injective. Soit e ∈ Z( ˜
G)
ΓF . Puisque Θ F
n’est pas vide, fixons η ∈ Θ F et E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) ∈ Epingl
ΓF
η . On peut fixer
un élément z ∈ Z(G) tel que e soit l’image de zη. Puisque e est fixe par Γ F , on
a zσ(z)
−1
∈ (1 − θ)(Z(G)) pour tout σ ∈ Γ F . L’application σ → zσ(z)
−1 est
un cocycle de Γ F dans (1 − θ)(Z(G)), que l’on pousse en un cocycle à valeurs
dans (1 − θ)(T ). Il résulte des constructions que T et (1 − θ)(T ) sont déduits par
restriction des scalaires de tores déployés sur F
. Donc (1 − θ)(T ) est induit et
H
1 (Γ F ; (1 − θ)(T )) = {1}. On peut donc fixer u ∈ T de sorte que zσ(z)
−1 =
(1 − θ)(uσ(u)
−1 ) pour tout σ ∈ Γ F . En notant u ad l’image de u dans T ad , cette
relation implique que u ad σ(u ad )
−1
∈ T
θ
ad . Donc σ → u ad σ(u ad )
−1 est un cocycle
à valeurs dans T
θ
ad . De nouveau, ce tore est induit et H
1 (Γ F ; T
θ
ad ) = {1}. On
peut donc fixer v ad ∈ T
θ
ad de sorte que u ad σ(u ad )
−1 = v ad σ(v ad )
−1 pour tout σ.
Relevons v ad en un élément v ∈ T
θ . Posons x = uv
−1 . On a alors x ad ∈ T
ΓF
ad .
Puisque v ∈ T
θ , on a encore l’égalité zσ(z)
−1 = (1 − θ)(xσ(x)
−1 ) pour tout σ.
Posons η
= ad x −1 (zη) et E
= ad x −1 (E). La relation précédente implique que
η
∈ ˜
G(F ). Parce que x ad est fixe par Γ F , E
est définie sur F . Alors E
appartient
à Epingl
ΓF
η et η
appartient à Θ F . D’après la construction de l’application (1) (cf.
[I] 1.3), l’image de η
dans Z( ˜
G) est la même que celle de zη, laquelle est e. Cela
achève la preuve.
Chapitre III. Réductions et preuves
sur F
associé au système de racines et à son automorphisme. On note (G, ˜
G) le
couple sur F déduit de (G F , ˜
G F ) par restriction des scalaires.
Fixons un tel couple (G, ˜
G). Pour η ∈ ˜
G, on note Epingl η l’ensemble des
paires de Borel épinglées conservées par ad η . On note Θ l’ensemble des η ∈ ˜
G tels
que Epingl η ne soit pas vide. On note Θ/ conj l’ensemble des classes de conjugaison
par G dans Θ. En [I] 1.3(7), on a défini une bijection
(1) Θ/ conj → Z( ˜
G).
Parce que G est simplement connexe, on a la propriété supplémentaire suivante. Soient η ∈ Θ et E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) ∈ Epingl η . Posons θ = ad η . Alors
(2) Z G (η) et T
θ sont connexes.
Pour η ∈ ˜
G(F ), Γ F agit sur Epingl η . Notons Θ F l’ensemble des η ∈ ˜
G(F ) tels
que Epingl
ΓF
η = ∅. Par construction, l’ensemble Θ F contient θ
∗ et n’est donc pas
vide. On a Θ F ⊂ Θ
ΓF et l’application Θ → Z( ˜
G) déduite de (1) se restreint en une
application Θ F → Z( ˜
G)
ΓF . L’ensemble Θ F n’a pas de raison d’être invariant par
conjugaison stable. On peut néanmoins introduire la relation d’équivalence dans
Θ F : deux éléments sont équivalents si et seulement s’ils sont stablement conjugués.
On note Θ F / st-conj l’ensemble des classes d’équivalence. Remarquons que, d’après
(2), la classe de conjugaison stable d’un élément η ∈ Θ F est l’intersection de
˜
G(F ) avec la classe de conjugaison par G( ¯
F ) de η. On en déduit une injection
Θ F / st-conj → Θ/ conj. Montrons que
(3) l’application (1) se restreint en une bijection Θ F / st-conj Z( ˜
G)
ΓF .
Preuve. D’après (1), cette restriction est injective. Soit e ∈ Z( ˜
G)
ΓF . Puisque Θ F
n’est pas vide, fixons η ∈ Θ F et E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) ∈ Epingl
ΓF
η . On peut fixer
un élément z ∈ Z(G) tel que e soit l’image de zη. Puisque e est fixe par Γ F , on
a zσ(z)
−1
∈ (1 − θ)(Z(G)) pour tout σ ∈ Γ F . L’application σ → zσ(z)
−1 est
un cocycle de Γ F dans (1 − θ)(Z(G)), que l’on pousse en un cocycle à valeurs
dans (1 − θ)(T ). Il résulte des constructions que T et (1 − θ)(T ) sont déduits par
restriction des scalaires de tores déployés sur F
. Donc (1 − θ)(T ) est induit et
H
1 (Γ F ; (1 − θ)(T )) = {1}. On peut donc fixer u ∈ T de sorte que zσ(z)
−1 =
(1 − θ)(uσ(u)
−1 ) pour tout σ ∈ Γ F . En notant u ad l’image de u dans T ad , cette
relation implique que u ad σ(u ad )
−1
∈ T
θ
ad . Donc σ → u ad σ(u ad )
−1 est un cocycle
à valeurs dans T
θ
ad . De nouveau, ce tore est induit et H
1 (Γ F ; T
θ
ad ) = {1}. On
peut donc fixer v ad ∈ T
θ
ad de sorte que u ad σ(u ad )
−1 = v ad σ(v ad )
−1 pour tout σ.
Relevons v ad en un élément v ∈ T
θ . Posons x = uv
−1 . On a alors x ad ∈ T
ΓF
ad .
Puisque v ∈ T
θ , on a encore l’égalité zσ(z)
−1 = (1 − θ)(xσ(x)
−1 ) pour tout σ.
Posons η
= ad x −1 (zη) et E
= ad x −1 (E). La relation précédente implique que
η
∈ ˜
G(F ). Parce que x ad est fixe par Γ F , E
est définie sur F . Alors E
appartient
à Epingl
ΓF
η et η
appartient à Θ F . D’après la construction de l’application (1) (cf.
[I] 1.3), l’image de η
dans Z( ˜
G) est la même que celle de zη, laquelle est e. Cela
achève la preuve.