III.6. Triplets endoscopiques non standard
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F 4 . Les cas (10) et (11) sont exclus car I(t) y est trop petit pour contenir F 4 . Il
ne reste que le cas (12). La seule possibilité est que I(t) soit lui-même de type F 4 .
Il ne contient évidemment qu’une copie de ce système, donc F
= F . Mais alors,
par définition, N = 78 = dim(G
∗
AD ).
Dans le cas où (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) est de type (5), on peut exclure les cas classiques pour la même raison que ci-dessus. Un système de type G 2 ne peut pas être
contenu dans des systèmes de types A 2 , F 4 , C 4 ou B 2 . Il ne reste que le cas (10).
De nouveau F
= F et N = 28 = dim(G
∗
AD ).
Supposons (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) de type (2). On peut exclure les cas (8), (10) et
(11) : un système de type B n ne peut pas intervenir dans un système de type D m ,
G 2 ou A 2 . Posons d = [F
: F ]. Alors N = d(n + 1)(2n + 1). On a d systèmes
orthogonaux de type B n contenus dans le système de racines de I(t). Donc le rang
de I(t) est au moins dn. Il suffit alors de prouver
– dans le cas (6), l’inégalité m ≥ dn entraîne (2m + 1)
2
− 1 ≥ d(n + 1)(2n + 1) ;
– dans le cas (7), l’inégalité m ≥ dn entraîne 4m
2
− 1 ≥ d(n + 1)(2n + 1) ;
– dans le cas (9), l’inégalité m − 1 ≥ dn entraîne m(2m − 1) ≥ d(n + 1)(2n + 1) ;
– dans le cas (12), l’inégalité 4 ≥ dn entraîne 78 ≥ d(n + 1)(2n + 1).
On laisse au lecteur la vérification élémentaire.
Supposons (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) de type (3). On peut supposer n ≥ 3 : si n = 2,
le cas (3) se confond avec le cas (2) déjà traité. On peut alors exclure les cas (10)
et (11) où I(t) est de trop petit rang. On peut aussi exclure les cas (6), (8) ou (9) :
un système C n avec n ≥ 3 n’est pas un sous-système de B m ou D m . Dans les cas
restants, le même argument que ci-dessus ramène à prouver
– dans le cas (7), l’inégalité m ≥ dn entraîne 4m
2
− 1 ≥ d(4n
2
− 1) ;
– dans le cas (12), l’inégalité 4 ≥ dn entraîne 78 ≥ d(4n
2
− 1).
De nouveau, on laisse la vérification au lecteur. Cela prouve le lemme.
III.6.2 Définition de triplets (G, ˜
G, a) particuliers
Considérons un système de racines et un automorphisme θ
∗ de ce système. On
introduit un groupe réductif connexe G sur F , simplement connexe et déployé,
dont le système de racines est celui fixé. Fixons une paire de Borel épinglée E
∗ de G
définie sur F . A θ
∗ est alors associé un automorphisme de G qui conserve E
∗ , et qui
est défini sur F . On le note encore θ
∗ . On introduit l’espace tordu ˜
G = Gθ
∗ . C’est
un espace principal homogène sous G à gauche, muni du point marqué θ
∗ . L’action
de G à droite est définie par (gθ
∗ , x) → gθ
∗ (x)θ
∗ et l’action galoisienne fixe θ
∗ .
On voit que la classe d’isomorphisme du couple (G, ˜
G) est uniquement déterminée
par le système de racines et son automorphisme (plus précisément par la classe de
conjugaison de ce dernier dans le groupe d’automorphismes du système de racines).
Plus généralement, considérons une extension finie F
de F , un système de racines
et un automorphisme θ
∗ de ce système. On introduit un couple (G F , ˜
G F ) défini
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F 4 . Les cas (10) et (11) sont exclus car I(t) y est trop petit pour contenir F 4 . Il
ne reste que le cas (12). La seule possibilité est que I(t) soit lui-même de type F 4 .
Il ne contient évidemment qu’une copie de ce système, donc F
= F . Mais alors,
par définition, N = 78 = dim(G
∗
AD ).
Dans le cas où (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) est de type (5), on peut exclure les cas classiques pour la même raison que ci-dessus. Un système de type G 2 ne peut pas être
contenu dans des systèmes de types A 2 , F 4 , C 4 ou B 2 . Il ne reste que le cas (10).
De nouveau F
= F et N = 28 = dim(G
∗
AD ).
Supposons (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) de type (2). On peut exclure les cas (8), (10) et
(11) : un système de type B n ne peut pas intervenir dans un système de type D m ,
G 2 ou A 2 . Posons d = [F
: F ]. Alors N = d(n + 1)(2n + 1). On a d systèmes
orthogonaux de type B n contenus dans le système de racines de I(t). Donc le rang
de I(t) est au moins dn. Il suffit alors de prouver
– dans le cas (6), l’inégalité m ≥ dn entraîne (2m + 1)
2
− 1 ≥ d(n + 1)(2n + 1) ;
– dans le cas (7), l’inégalité m ≥ dn entraîne 4m
2
− 1 ≥ d(n + 1)(2n + 1) ;
– dans le cas (9), l’inégalité m − 1 ≥ dn entraîne m(2m − 1) ≥ d(n + 1)(2n + 1) ;
– dans le cas (12), l’inégalité 4 ≥ dn entraîne 78 ≥ d(n + 1)(2n + 1).
On laisse au lecteur la vérification élémentaire.
Supposons (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) de type (3). On peut supposer n ≥ 3 : si n = 2,
le cas (3) se confond avec le cas (2) déjà traité. On peut alors exclure les cas (10)
et (11) où I(t) est de trop petit rang. On peut aussi exclure les cas (6), (8) ou (9) :
un système C n avec n ≥ 3 n’est pas un sous-système de B m ou D m . Dans les cas
restants, le même argument que ci-dessus ramène à prouver
– dans le cas (7), l’inégalité m ≥ dn entraîne 4m
2
− 1 ≥ d(4n
2
− 1) ;
– dans le cas (12), l’inégalité 4 ≥ dn entraîne 78 ≥ d(4n
2
− 1).
De nouveau, on laisse la vérification au lecteur. Cela prouve le lemme.
III.6.2 Définition de triplets (G, ˜
G, a) particuliers
Considérons un système de racines et un automorphisme θ
∗ de ce système. On
introduit un groupe réductif connexe G sur F , simplement connexe et déployé,
dont le système de racines est celui fixé. Fixons une paire de Borel épinglée E
∗ de G
définie sur F . A θ
∗ est alors associé un automorphisme de G qui conserve E
∗ , et qui
est défini sur F . On le note encore θ
∗ . On introduit l’espace tordu ˜
G = Gθ
∗ . C’est
un espace principal homogène sous G à gauche, muni du point marqué θ
∗ . L’action
de G à droite est définie par (gθ
∗ , x) → gθ
∗ (x)θ
∗ et l’action galoisienne fixe θ
∗ .
On voit que la classe d’isomorphisme du couple (G, ˜
G) est uniquement déterminée
par le système de racines et son automorphisme (plus précisément par la classe de
conjugaison de ce dernier dans le groupe d’automorphismes du système de racines).
Plus généralement, considérons une extension finie F
de F , un système de racines
et un automorphisme θ
∗ de ce système. On introduit un couple (G F , ˜
G F ) défini