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Chapitre III. Réductions et preuves
se décomposent en produits indexés par Gal(F
/F ) de systèmes analogues relatifs
à ¯
G. Puisqu’on a supposé notre triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) équivalent à un triplet quasiélémentaire, on peut supposer qu’il existe un triplet élémentaire (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ )
et une extension F
de F tels que le système de racines de G 0,1 , resp. G 0,2 , soit un
sous-système d’un système R(¯ s, ¯
t), resp. R( ¯
t, ¯
s), relatif à ¯
G et que (G 1 , G 2 , j ∗ ) soit
équivalent au système déduit de (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) par restriction des scalaires de F
à F . D’après la propriété rappelée ci-dessus des actions galoisiennes, un élément de
Γ F qui conserve (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) conserve aussi ¯
G, autrement dit F
⊂ F
. Notons
( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) le triplet sur F
déduit de (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) par restriction des scalaires
de F
à F
. On voit alors que F
, ¯
G et ( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) vérifient les mêmes hypothèses
que F , G
∗
AD et (G 1 , G 2 , j ∗ ). On précise par un indice F
les termes naturellement associés à ces objets, le corps de base étant F
(par exemple dim F ( ¯
G)).
Par définition, N = [F
: F ]N F ( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) et dim(G
∗
SC ) = [F
: F ] dim F ( ¯
G).
Il suffit donc de démontrer la relation N F ( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) ≤ dim F ( ¯
G). En oubliant
cette construction, on est ramené au cas où toutes les composantes irréductibles
de G
∗
AD sont permutées par le groupe d’automorphismes engendré par θ
∗ . On fixe
comme ci-dessus une composante irréductible G et on note c le plus petit entier
strictement positif tel que (θ
∗ )
c (G) = G. Mais alors les systèmes de racines R(s, t)
et R(t, s) sont exactement les mêmes que des systèmes R(s, t) et R(t, s) déduits
de G, de son automorphisme (θ
∗ )
c et d’éléments convenables t et s. De nouveau,
cela nous ramène au cas où G
∗
AD = G, autrement dit, on peut supposer G
∗
AD
irréductible.
Il reste à étudier cas par cas chaque système possible pour I(t) (soumis à la
condition J = G
∗
AD ) et chaque triplet quasi-élémentaire possible. On suppose donc
que (G 1 , G 2 , j ∗ ) est équivalent à un triplet déduit par restriction des scalaires de F
à F d’un triplet (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) de type (1) à (5). On peut exclure le triplet (1) :
dans ce cas N = 0 et l’inégalité N ≤ dim(G
∗
AD ) à prouver est évidente. On peut
aussi exclure le cas où θ
∗ est l’identité. On est alors dans le cas d’endoscopie non
tordue et il résulte des constructions de [79] 3.3 qu’alors le triplet endoscopique non
standard est forcément de type (1). D’après [53] proposition II.3.2, les possibilités
pour G
∗
AD et I(t) sont les suivantes :
(6) G
∗
AD de type A 2m , dim(G
∗
AD ) = (2m + 1)
2
− 1, I(t) de type B m ;
(7) G
∗
AD de type A 2m−1 , dim(G
∗
AD ) = 4m
2
− 1, I(t) de type C m ;
(8) G
∗
AD de type A 2m−1 , dim(G
∗
AD ) = 4m
2
− 1, I(t) de type D m ;
(9) G
∗
AD de type D m avec m ≥ 4, dim(G
∗
AD ) = m(2m − 1), I(t) de type B m + ∪
B m − , avec m
+ + m
− = m − 1 ;
(10) G
∗
AD de type D 4 , dim(G
∗
AD ) = 28, I(t) de type G 2 ;
(11) G
∗
AD de type D 4 , dim(G
∗
AD ) = 28, I(t) de type A 2 ;
(12) G
∗
AD de type E 6 , dim(G
∗
AD ) = 78, I(t) de type F 4 , C 4 ou B 3 ∪ A 1 .
Dans le cas où (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) est de type (4), on peut exclure les cas classiques (6) à (9) : des opérations consistant à prendre des commutants ou à passer
au groupe dual à partir d’un groupe classique ne sauraient créer un groupe de type
Chapitre III. Réductions et preuves
se décomposent en produits indexés par Gal(F
/F ) de systèmes analogues relatifs
à ¯
G. Puisqu’on a supposé notre triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) équivalent à un triplet quasiélémentaire, on peut supposer qu’il existe un triplet élémentaire (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ )
et une extension F
de F tels que le système de racines de G 0,1 , resp. G 0,2 , soit un
sous-système d’un système R(¯ s, ¯
t), resp. R( ¯
t, ¯
s), relatif à ¯
G et que (G 1 , G 2 , j ∗ ) soit
équivalent au système déduit de (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) par restriction des scalaires de F
à F . D’après la propriété rappelée ci-dessus des actions galoisiennes, un élément de
Γ F qui conserve (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) conserve aussi ¯
G, autrement dit F
⊂ F
. Notons
( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) le triplet sur F
déduit de (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) par restriction des scalaires
de F
à F
. On voit alors que F
, ¯
G et ( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) vérifient les mêmes hypothèses
que F , G
∗
AD et (G 1 , G 2 , j ∗ ). On précise par un indice F
les termes naturellement associés à ces objets, le corps de base étant F
(par exemple dim F ( ¯
G)).
Par définition, N = [F
: F ]N F ( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) et dim(G
∗
SC ) = [F
: F ] dim F ( ¯
G).
Il suffit donc de démontrer la relation N F ( ¯
G 1 , ¯
G 2 , ¯ j ∗ ) ≤ dim F ( ¯
G). En oubliant
cette construction, on est ramené au cas où toutes les composantes irréductibles
de G
∗
AD sont permutées par le groupe d’automorphismes engendré par θ
∗ . On fixe
comme ci-dessus une composante irréductible G et on note c le plus petit entier
strictement positif tel que (θ
∗ )
c (G) = G. Mais alors les systèmes de racines R(s, t)
et R(t, s) sont exactement les mêmes que des systèmes R(s, t) et R(t, s) déduits
de G, de son automorphisme (θ
∗ )
c et d’éléments convenables t et s. De nouveau,
cela nous ramène au cas où G
∗
AD = G, autrement dit, on peut supposer G
∗
AD
irréductible.
Il reste à étudier cas par cas chaque système possible pour I(t) (soumis à la
condition J = G
∗
AD ) et chaque triplet quasi-élémentaire possible. On suppose donc
que (G 1 , G 2 , j ∗ ) est équivalent à un triplet déduit par restriction des scalaires de F
à F d’un triplet (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) de type (1) à (5). On peut exclure le triplet (1) :
dans ce cas N = 0 et l’inégalité N ≤ dim(G
∗
AD ) à prouver est évidente. On peut
aussi exclure le cas où θ
∗ est l’identité. On est alors dans le cas d’endoscopie non
tordue et il résulte des constructions de [79] 3.3 qu’alors le triplet endoscopique non
standard est forcément de type (1). D’après [53] proposition II.3.2, les possibilités
pour G
∗
AD et I(t) sont les suivantes :
(6) G
∗
AD de type A 2m , dim(G
∗
AD ) = (2m + 1)
2
− 1, I(t) de type B m ;
(7) G
∗
AD de type A 2m−1 , dim(G
∗
AD ) = 4m
2
− 1, I(t) de type C m ;
(8) G
∗
AD de type A 2m−1 , dim(G
∗
AD ) = 4m
2
− 1, I(t) de type D m ;
(9) G
∗
AD de type D m avec m ≥ 4, dim(G
∗
AD ) = m(2m − 1), I(t) de type B m + ∪
B m − , avec m
+ + m
− = m − 1 ;
(10) G
∗
AD de type D 4 , dim(G
∗
AD ) = 28, I(t) de type G 2 ;
(11) G
∗
AD de type D 4 , dim(G
∗
AD ) = 28, I(t) de type A 2 ;
(12) G
∗
AD de type E 6 , dim(G
∗
AD ) = 78, I(t) de type F 4 , C 4 ou B 3 ∪ A 1 .
Dans le cas où (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) est de type (4), on peut exclure les cas classiques (6) à (9) : des opérations consistant à prendre des commutants ou à passer
au groupe dual à partir d’un groupe classique ne sauraient créer un groupe de type