III.6. Triplets endoscopiques non standard
377
Lemme. Si un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) est issu comme cidessus de couples (η, ,), on a N (G 1 , G 2 , j ∗ ) ≤ dim(G SC ).
Preuve. Introduisons la forme quasi-déployée G
∗
AD de G AD . Fixons-en une paire
de Borel épinglée (B
∗ , T
∗ , (E α ) α∈Δ ) définie sur F . On a sur G
∗
AD une action galoisienne et un automorphisme θ
∗ qui conservent cette paire de Borel épinglée. Soit
t ∈ T
∗ . On introduit la composante neutre I(t) = G
∗
AD,tθ ∗ du commutant de tθ
∗
et son groupe dual ˆ
I(t). Soit s un élément semi-simple de ˆ
I(t). On introduit la
composante neutre ˆ
I(t) s du commutant de s et son groupe dual. On note R(s, t)
le système de racines de ce groupe dual. Il résulte de l’hypothèse et de [79] 3.3
qu’il existe t et s de sorte que le système de racines de G 1 coïncide avec R(s, t).
De l’action galoisienne sur G 1 se déduit une action galoisienne sur R(s, t). Elle est
composée de l’action galoisienne sur le système de racines de G
∗
AD et d’un cocycle
à valeurs dans W
θ
∗ . On déduit du système de racines R(s, t) un autre système de
racines, notons-le R(t, s) (dans [79] 3.3, les deux systèmes sont notés respectivement Σ 2 et Σ 1 ). C’est celui du groupe G 2 . On a décomposé plus haut (G 1 , G 2 , j ∗ )
en produit sur i = 1, . . . , n de triplets équivalents à des triplets quasi-élémentaires
(G 1,i , G 2,i , j ∗,i ). Posons N = N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = sup i=1,...,n N (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ). Fixons
i tel que N (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ) = N . Il suffit de prouver que, s’il existe t et s comme
ci-dessus de sorte que le système de racines de G 1,i soit un sous-système de
R(s, t) et que le système de racines de G 2,i soit un sous-système de R(t, s), alors
N ≤ dim(G
∗
AD ). A ce point, on peut simplifier les notations en supposant que
(G 1 , G 2 , j ∗ ) = (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ) et en abandonnant l’indice i.
Supposons qu’il existe t et s vérifiant les conditions ci-dessus. Notons J la
composante neutre du centralisateur du centre de I(t). Il est stable par l’action
galoisienne et par θ
∗ . Il contient T
∗ et le groupe I(t) coïncide avec la composante
neutre du centralisateur de tθ
∗ dans J. Il en résulte que les systèmes de racines
R(s, t) et R(t, s) se déduisent aussi bien du groupe J, ou mieux de la forme quasidéployée J
∗
AD de son groupe adjoint. Si l’on prouve l’assertion pour ce groupe,
on en déduit la même assertion pour G
∗
AD puisque dim(J
∗
AD ) ≤ dim(G
∗
AD ). Cela
nous ramène au cas où J = G
∗
AD , ce que l’on suppose désormais. On peut décomposer G
∗
AD en produit de groupes G
∗
j pour j = 1, . . . , m tels que, pour tout
j, les composantes irréductibles de G
∗
j forment une seule orbite pour le groupe de
permutations engendré par l’action galoisienne et par θ
∗ . Les systèmes de racines
R(s, t) et R(t, s) se décomposent conformémént (y compris en tenant compte de
l’action galoisienne). Il existe donc un indice j tel que le groupe G
∗
AD,j vérifie
les mêmes hypothèses que G
∗
AD . De nouveau, si l’on démontre l’assertion pour
ce groupe G
∗
AD,j , on en déduit l’assertion pour G
∗ . Cela nous ramène au cas où
les composantes irréductibles de G
∗
AD forment une seule orbite pour le groupe de
permutations engendré par l’action galoisienne et par θ
∗ . Fixons une telle composante irréductible G. Notons c le plus petit entier strictement positif tel que
(θ
∗ )
c (G) = G. Posons ¯
G = G×θ
∗ (G)×· · ·×(θ
∗ )
c−1 (G). Soit F
l’extension de F tel
que Γ F soit le sous-groupe des σ ∈ Γ F qui conservent ¯
G. Alors G
∗
AD est déduit de
¯
G par restriction des scalaires de F
à F . Les systèmes de racines R(s, t) et R(t, s)
377
Lemme. Si un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) est issu comme cidessus de couples (η, ,), on a N (G 1 , G 2 , j ∗ ) ≤ dim(G SC ).
Preuve. Introduisons la forme quasi-déployée G
∗
AD de G AD . Fixons-en une paire
de Borel épinglée (B
∗ , T
∗ , (E α ) α∈Δ ) définie sur F . On a sur G
∗
AD une action galoisienne et un automorphisme θ
∗ qui conservent cette paire de Borel épinglée. Soit
t ∈ T
∗ . On introduit la composante neutre I(t) = G
∗
AD,tθ ∗ du commutant de tθ
∗
et son groupe dual ˆ
I(t). Soit s un élément semi-simple de ˆ
I(t). On introduit la
composante neutre ˆ
I(t) s du commutant de s et son groupe dual. On note R(s, t)
le système de racines de ce groupe dual. Il résulte de l’hypothèse et de [79] 3.3
qu’il existe t et s de sorte que le système de racines de G 1 coïncide avec R(s, t).
De l’action galoisienne sur G 1 se déduit une action galoisienne sur R(s, t). Elle est
composée de l’action galoisienne sur le système de racines de G
∗
AD et d’un cocycle
à valeurs dans W
θ
∗ . On déduit du système de racines R(s, t) un autre système de
racines, notons-le R(t, s) (dans [79] 3.3, les deux systèmes sont notés respectivement Σ 2 et Σ 1 ). C’est celui du groupe G 2 . On a décomposé plus haut (G 1 , G 2 , j ∗ )
en produit sur i = 1, . . . , n de triplets équivalents à des triplets quasi-élémentaires
(G 1,i , G 2,i , j ∗,i ). Posons N = N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = sup i=1,...,n N (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ). Fixons
i tel que N (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ) = N . Il suffit de prouver que, s’il existe t et s comme
ci-dessus de sorte que le système de racines de G 1,i soit un sous-système de
R(s, t) et que le système de racines de G 2,i soit un sous-système de R(t, s), alors
N ≤ dim(G
∗
AD ). A ce point, on peut simplifier les notations en supposant que
(G 1 , G 2 , j ∗ ) = (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ) et en abandonnant l’indice i.
Supposons qu’il existe t et s vérifiant les conditions ci-dessus. Notons J la
composante neutre du centralisateur du centre de I(t). Il est stable par l’action
galoisienne et par θ
∗ . Il contient T
∗ et le groupe I(t) coïncide avec la composante
neutre du centralisateur de tθ
∗ dans J. Il en résulte que les systèmes de racines
R(s, t) et R(t, s) se déduisent aussi bien du groupe J, ou mieux de la forme quasidéployée J
∗
AD de son groupe adjoint. Si l’on prouve l’assertion pour ce groupe,
on en déduit la même assertion pour G
∗
AD puisque dim(J
∗
AD ) ≤ dim(G
∗
AD ). Cela
nous ramène au cas où J = G
∗
AD , ce que l’on suppose désormais. On peut décomposer G
∗
AD en produit de groupes G
∗
j pour j = 1, . . . , m tels que, pour tout
j, les composantes irréductibles de G
∗
j forment une seule orbite pour le groupe de
permutations engendré par l’action galoisienne et par θ
∗ . Les systèmes de racines
R(s, t) et R(t, s) se décomposent conformémént (y compris en tenant compte de
l’action galoisienne). Il existe donc un indice j tel que le groupe G
∗
AD,j vérifie
les mêmes hypothèses que G
∗
AD . De nouveau, si l’on démontre l’assertion pour
ce groupe G
∗
AD,j , on en déduit l’assertion pour G
∗ . Cela nous ramène au cas où
les composantes irréductibles de G
∗
AD forment une seule orbite pour le groupe de
permutations engendré par l’action galoisienne et par θ
∗ . Fixons une telle composante irréductible G. Notons c le plus petit entier strictement positif tel que
(θ
∗ )
c (G) = G. Posons ¯
G = G×θ
∗ (G)×· · ·×(θ
∗ )
c−1 (G). Soit F
l’extension de F tel
que Γ F soit le sous-groupe des σ ∈ Γ F qui conservent ¯
G. Alors G
∗
AD est déduit de
¯
G par restriction des scalaires de F
à F . Les systèmes de racines R(s, t) et R(t, s)