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Chapitre III. Réductions et preuves
– pour tout α 2 ∈ Σ(T 2 ), j
∗ (α 2 ) = b(α 2 )τ (α 2 ) ;
– pour tout α 1 ∈ Σ(T 1 ), j ∗ (ˇ α 1 ) = b(α 2 )ˇ α 2 , où α 2 = τ
−1 (α 1 ).
A ces conditions, on dit que (G 1 , G 2 , j ∗ ) est un triplet endoscopique non
standard.
De tels triplets interviennent dans nos constructions comme on l’a vu en 5.1.
Soit (G, ˜
G, a) un de nos triplets comme en [II] 1.1 et G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique elliptique de (G, ˜
G, a). Soient (, B
, T
, B, T, η) un diagramme
reliant un élément semi-simple ∈ ˜
G
(F ) à un élément semi-simple η ∈ ˜
G
(F ).
Supposons G
quasi-déployé. A l’aide de ces données, on construit une donnée endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s) de G η,SC . Posons G 1 = ¯
G
SC et G 2 = G
,SC . Alors le
couple (G 1 , G 2 ) se complète naturellement en un triplet endoscopique non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ ). Dans [79] 1.7, on a classifié les triplets endoscopiques non standard.
Considérons les triplets élémentaires suivants :
(1) G 1 = G 2 et j ∗ est l’identité ;
(2) G 1 est de type B n avec n ≥ 2, G 2 est de type C n et j ∗ envoie une coracine
courte sur une coracine longue et envoie la coracine longue sur 2 fois la
coracine courte ;
(3) G 1 est de type C n avec n ≥ 2, G 1 est de type B n et j ∗ envoie la coracine
courte sur la coracine longue et envoie une coracine longue sur 2 fois une
coracine courte ;
(4) G 1 et G 2 sont de type F 4 et j ∗ envoie une coracine courte sur une coracine
longue et une coracine longue sur 2 fois une coracine courte ;
(5) G 1 et G 2 sont de type G 2 (sic !) et j ∗ envoie une coracine courte sur une
coracine longue et une coracine longue sur 3 fois une coracine courte.
Disons qu’un triplet est quasi-élémentaire s’il se déduit par restriction des scalaires d’un triplet élémentaire. Disons que deux triplets (G 1 , G 2 , j ∗ ) et (G
1 , G
2 , j
∗ )
sont équivalents si, à isomorphismes près, on a G 1 = G
1 , G 2 = G
2 et j ∗ = cj
∗ où c
est un rationnel strictement positif. Alors tout triplet est isomorphe à un produit
de triplets dont chacun est équivalent à un triplet quasi-élémentaire.
Pour chacun des triplets élémentaires ci-dessus, on pose N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = 0
dans le cas (1), (n+1)(2n+1) dans le cas (2), 4n
2
−1 dans le cas (3), 78 dans le cas
(4), 28 dans le cas (5). Pour un triplet quasi-élémentaire (G 1 , G 2 , j ∗ ), déduit par
restriction des scalaires disons de F
à F d’un triplet élémentaire (G
1 , G
2 , j
∗ ),
on pose N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = [F
: F ]N (G
1 , G
2 , j
∗ ). Pour un triplet général, produit sur i = 1, . . . , n de triplets équivalents à des triplets quasi-élémentaires
(G 1,i , G 2,i , j ∗,i ), on pose
N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = sup
i=1,...,n
N (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ).
Remarque. Pour n = 2, les triplets (2) et (3) sont les mêmes. Les deux recettes
possibles pour définir N (G 1 , G 2 , j ∗ ) donnent le même résultat.
Chapitre III. Réductions et preuves
– pour tout α 2 ∈ Σ(T 2 ), j
∗ (α 2 ) = b(α 2 )τ (α 2 ) ;
– pour tout α 1 ∈ Σ(T 1 ), j ∗ (ˇ α 1 ) = b(α 2 )ˇ α 2 , où α 2 = τ
−1 (α 1 ).
A ces conditions, on dit que (G 1 , G 2 , j ∗ ) est un triplet endoscopique non
standard.
De tels triplets interviennent dans nos constructions comme on l’a vu en 5.1.
Soit (G, ˜
G, a) un de nos triplets comme en [II] 1.1 et G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique elliptique de (G, ˜
G, a). Soient (, B
, T
, B, T, η) un diagramme
reliant un élément semi-simple ∈ ˜
G
(F ) à un élément semi-simple η ∈ ˜
G
(F ).
Supposons G
quasi-déployé. A l’aide de ces données, on construit une donnée endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s) de G η,SC . Posons G 1 = ¯
G
SC et G 2 = G
,SC . Alors le
couple (G 1 , G 2 ) se complète naturellement en un triplet endoscopique non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ ). Dans [79] 1.7, on a classifié les triplets endoscopiques non standard.
Considérons les triplets élémentaires suivants :
(1) G 1 = G 2 et j ∗ est l’identité ;
(2) G 1 est de type B n avec n ≥ 2, G 2 est de type C n et j ∗ envoie une coracine
courte sur une coracine longue et envoie la coracine longue sur 2 fois la
coracine courte ;
(3) G 1 est de type C n avec n ≥ 2, G 1 est de type B n et j ∗ envoie la coracine
courte sur la coracine longue et envoie une coracine longue sur 2 fois une
coracine courte ;
(4) G 1 et G 2 sont de type F 4 et j ∗ envoie une coracine courte sur une coracine
longue et une coracine longue sur 2 fois une coracine courte ;
(5) G 1 et G 2 sont de type G 2 (sic !) et j ∗ envoie une coracine courte sur une
coracine longue et une coracine longue sur 3 fois une coracine courte.
Disons qu’un triplet est quasi-élémentaire s’il se déduit par restriction des scalaires d’un triplet élémentaire. Disons que deux triplets (G 1 , G 2 , j ∗ ) et (G
1 , G
2 , j
∗ )
sont équivalents si, à isomorphismes près, on a G 1 = G
1 , G 2 = G
2 et j ∗ = cj
∗ où c
est un rationnel strictement positif. Alors tout triplet est isomorphe à un produit
de triplets dont chacun est équivalent à un triplet quasi-élémentaire.
Pour chacun des triplets élémentaires ci-dessus, on pose N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = 0
dans le cas (1), (n+1)(2n+1) dans le cas (2), 4n
2
−1 dans le cas (3), 78 dans le cas
(4), 28 dans le cas (5). Pour un triplet quasi-élémentaire (G 1 , G 2 , j ∗ ), déduit par
restriction des scalaires disons de F
à F d’un triplet élémentaire (G
1 , G
2 , j
∗ ),
on pose N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = [F
: F ]N (G
1 , G
2 , j
∗ ). Pour un triplet général, produit sur i = 1, . . . , n de triplets équivalents à des triplets quasi-élémentaires
(G 1,i , G 2,i , j ∗,i ), on pose
N (G 1 , G 2 , j ∗ ) = sup
i=1,...,n
N (G 1,i , G 2,i , j ∗,i ).
Remarque. Pour n = 2, les triplets (2) et (3) sont les mêmes. Les deux recettes
possibles pour définir N (G 1 , G 2 , j ∗ ) donnent le même résultat.