III.6. Triplets endoscopiques non standard
375
Il provient d’un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) C
∞
c,λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F ))
φ
→
φ(˜ s).
Soient δ 1 ∈ ˜
M
1 (F ) et δ 1 (˜ s) ∈ ˜
M
1 (˜ s; F ) deux éléments au-dessus d’un même point
de ˜
M
(F ). Alors on a une égalité
φ(˜ s)(δ 1 (˜ s)) = ˜
λ(˜ s)(δ 1 , δ 1 (˜ s))φ(δ 1 ),
où ˜
λ(˜ s) est une fonction de recollement définie en [I] 2.5. Cette fonction de recollement est localement constante. Parce que l’on travaille dualement avec des
distributions, un dévissage des définitions conduit à l’égalité
(1)
δ(˜ s) = d(˜ s)δ ,
où
d(˜ s) = ˜
λ(˜ s)( 1 , , 1 (˜ s))
−1 .
On peut calculer ce terme en fixant un élément Y ∈ m
(F ) en position générale
et elliptique. Il lui correspond un élément X ∈ m η (F ) par la construction de 5.1
appliquée en remplaçant ˜
G par ˜
M et y par 1. A l’aide des décompositions fixées, on
peut identifier Y soit à un élément de m
1,,1 (F ), soit à un élément de m
1 (˜ s) 1(˜ s) (F ).
D’après [I] lemme 2.5, on a l’égalité
(2)
d(˜ s) =
Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X)η)
Δ 1 (˜ s)(exp(Y ) 1 (˜ s), exp(X)η)
.
III.6 Triplets endoscopiques non standard
III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard
Rappelons la notion de triplet endoscopique non standard introduite dans [79] 1.7.
On considère deux groupes réductifs connexes G 1 et G 2 définis sur F , simplement
connexes et quasi-déployés. Pour i = 1, 2, soit (B i , T i ) une paire de Borel de
G i définie sur F . On introduit l’ensemble Σ(T i ) des racines de T i dans G i et
l’ensemble ˇ
Σ(T i ) des coracines. On note α → ˇ
α la bijection usuelle entre ces
ensembles. On suppose données une bijection τ : Σ(T 2 ) → Σ(T 1 ), une fonction
b : Σ(T 2 ) → Q >0 et un isomorphisme j ∗ : X ∗ (T 1 ) ⊗ Z Q → X ∗ (T 2 ) ⊗ Z Q. On note
j
∗ : X
∗ (T 2 ) ⊗ Z Q → X
∗ (T 1 ) ⊗ Z Q l’isomorphisme dual. On impose les conditions
suivantes :
– pour α 2 ∈ Σ(T 2 ), α 2 est positif pour B 2 si et seulement si τ (α 2 ) est positif
pour B 1 (cette condition ne figure pas dans [79] 1.7 mais peut être ajoutée
d’après le lemme de cette référence) ;
– j ∗ (donc aussi j
∗ ) est équivariant pour les actions galoisiennes ;
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Il provient d’un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) C
∞
c,λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F ))
φ
→
φ(˜ s).
Soient δ 1 ∈ ˜
M
1 (F ) et δ 1 (˜ s) ∈ ˜
M
1 (˜ s; F ) deux éléments au-dessus d’un même point
de ˜
M
(F ). Alors on a une égalité
φ(˜ s)(δ 1 (˜ s)) = ˜
λ(˜ s)(δ 1 , δ 1 (˜ s))φ(δ 1 ),
où ˜
λ(˜ s) est une fonction de recollement définie en [I] 2.5. Cette fonction de recollement est localement constante. Parce que l’on travaille dualement avec des
distributions, un dévissage des définitions conduit à l’égalité
(1)
δ(˜ s) = d(˜ s)δ ,
où
d(˜ s) = ˜
λ(˜ s)( 1 , , 1 (˜ s))
−1 .
On peut calculer ce terme en fixant un élément Y ∈ m
(F ) en position générale
et elliptique. Il lui correspond un élément X ∈ m η (F ) par la construction de 5.1
appliquée en remplaçant ˜
G par ˜
M et y par 1. A l’aide des décompositions fixées, on
peut identifier Y soit à un élément de m
1,,1 (F ), soit à un élément de m
1 (˜ s) 1(˜ s) (F ).
D’après [I] lemme 2.5, on a l’égalité
(2)
d(˜ s) =
Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X)η)
Δ 1 (˜ s)(exp(Y ) 1 (˜ s), exp(X)η)
.
III.6 Triplets endoscopiques non standard
III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard
Rappelons la notion de triplet endoscopique non standard introduite dans [79] 1.7.
On considère deux groupes réductifs connexes G 1 et G 2 définis sur F , simplement
connexes et quasi-déployés. Pour i = 1, 2, soit (B i , T i ) une paire de Borel de
G i définie sur F . On introduit l’ensemble Σ(T i ) des racines de T i dans G i et
l’ensemble ˇ
Σ(T i ) des coracines. On note α → ˇ
α la bijection usuelle entre ces
ensembles. On suppose données une bijection τ : Σ(T 2 ) → Σ(T 1 ), une fonction
b : Σ(T 2 ) → Q >0 et un isomorphisme j ∗ : X ∗ (T 1 ) ⊗ Z Q → X ∗ (T 2 ) ⊗ Z Q. On note
j
∗ : X
∗ (T 2 ) ⊗ Z Q → X
∗ (T 1 ) ⊗ Z Q l’isomorphisme dual. On impose les conditions
suivantes :
– pour α 2 ∈ Σ(T 2 ), α 2 est positif pour B 2 si et seulement si τ (α 2 ) est positif
pour B 1 (cette condition ne figure pas dans [79] 1.7 mais peut être ajoutée
d’après le lemme de cette référence) ;
– j ∗ (donc aussi j
∗ ) est équivariant pour les actions galoisiennes ;