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Chapitre III. Réductions et preuves
application telle que ι
∗
M
,SC ,M (˜ s),sc , ainsi qu’une formule analogue concernant le
transfert non standard, laquelle se prouve de la même façon. On laisse les détails
au lecteur.
III.5.5 Applications de transition
Notons O M la classe de conjugaison stable de . Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
) à support
proche de O M . Fixons des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
et un élément
1 ∈ ˜
M
1 (F ) se projetant sur . Alors δ s’identifie à un élément de D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F )).
Comme on l’a dit en [II] 1.10, on a une surjection
D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F )) → D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F )).
L’action par translations sur l’espace de départ d’un élément c ∈ C 1 (F ) se traduit
sur l’espace d’arrivée par la multiplication par λ 1 (c). Puisque le support de δ
est voisin de O M , on peut donc relever cette distribution en un élément δ 1 ∈
D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F )) à support voisin de la classe de conjugaison stable de 1 . C’est
l’image par l’application desc
st, ˜
M
1
1
d’un élément de D
st
g´ eom (M
1,,1 (F )) à support
proche de 1.
Un tel élément est combinaison linéaire de termes exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC ),
avec Z ∈ z(M
1,,1 ; F ) et δ ,SC ∈ D
st
g´ eom (M
,SC (F )), à support proche de 1 (le
produit par exp(Z) signifie la translation par cet élément). Pour simplifier, on
suppose que la combinaison linéaire est réduite à un seul terme, c’est-à-dire que
δ 1 = desc
st, ˜
M
1
1
(exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC )).
Fixons une décomposition d’algèbres de Lie
m
1,,1 = c 1 ⊕ m
.
Les translations par c 1 (F ) ne comptent pas par le même argument que ci-dessus
(d’ailleurs, le composé de λ 1 et de l’exponentielle est égal à 1 au voisinage de 0).
On peut donc supposer que l’élément Z appartient à z(M
; F ).
Posons alors δ = exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC ). On peut considérer que c’est
un élément de D
st
g´ eom (M
(F )) à support proche de 1.
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Utilisons les données auxiliaires introduites
au paragraphe précédent, que l’on restreint à M
. En remplaçant ˜
M
1 par ˜
M
1 (˜ s),
on construit un autre élément δ(˜ s) . Les distributions δ et δ(˜ s) appartiennent
au même espace D
st
g´ eom (M
(F )) et proviennent par descente d’un même élément
δ ∈ D
st
g´ eom (M
). Mais elles ne sont pas forcément égales. Rappelons en effet la
construction de l’isomorphisme composé
SI λ1 ( ˜
M
1 (F )) SI(M
) SI λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F )).
Chapitre III. Réductions et preuves
application telle que ι
∗
M
,SC ,M (˜ s),sc , ainsi qu’une formule analogue concernant le
transfert non standard, laquelle se prouve de la même façon. On laisse les détails
au lecteur.
III.5.5 Applications de transition
Notons O M la classe de conjugaison stable de . Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
) à support
proche de O M . Fixons des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
et un élément
1 ∈ ˜
M
1 (F ) se projetant sur . Alors δ s’identifie à un élément de D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F )).
Comme on l’a dit en [II] 1.10, on a une surjection
D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F )) → D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F )).
L’action par translations sur l’espace de départ d’un élément c ∈ C 1 (F ) se traduit
sur l’espace d’arrivée par la multiplication par λ 1 (c). Puisque le support de δ
est voisin de O M , on peut donc relever cette distribution en un élément δ 1 ∈
D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F )) à support voisin de la classe de conjugaison stable de 1 . C’est
l’image par l’application desc
st, ˜
M
1
1
d’un élément de D
st
g´ eom (M
1,,1 (F )) à support
proche de 1.
Un tel élément est combinaison linéaire de termes exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC ),
avec Z ∈ z(M
1,,1 ; F ) et δ ,SC ∈ D
st
g´ eom (M
,SC (F )), à support proche de 1 (le
produit par exp(Z) signifie la translation par cet élément). Pour simplifier, on
suppose que la combinaison linéaire est réduite à un seul terme, c’est-à-dire que
δ 1 = desc
st, ˜
M
1
1
(exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC )).
Fixons une décomposition d’algèbres de Lie
m
1,,1 = c 1 ⊕ m
.
Les translations par c 1 (F ) ne comptent pas par le même argument que ci-dessus
(d’ailleurs, le composé de λ 1 et de l’exponentielle est égal à 1 au voisinage de 0).
On peut donc supposer que l’élément Z appartient à z(M
; F ).
Posons alors δ = exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC ). On peut considérer que c’est
un élément de D
st
g´ eom (M
(F )) à support proche de 1.
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Utilisons les données auxiliaires introduites
au paragraphe précédent, que l’on restreint à M
. En remplaçant ˜
M
1 par ˜
M
1 (˜ s),
on construit un autre élément δ(˜ s) . Les distributions δ et δ(˜ s) appartiennent
au même espace D
st
g´ eom (M
(F )) et proviennent par descente d’un même élément
δ ∈ D
st
g´ eom (M
). Mais elles ne sont pas forcément égales. Rappelons en effet la
construction de l’isomorphisme composé
SI λ1 ( ˜
M
1 (F )) SI(M
) SI λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F )).