III.5. Descente et endoscopie
373
– l’image ¯
δ(¯ s) SC de δ(˜ s) SC par transfert endoscopique non standard ;
– l’image ¯
δ(¯ s, Z 2 ) de ¯
δ(¯ s) SC par la composée de l’application ι
∗
¯
G (¯ s)SC, ¯
G (¯ s)
et
de la translation par exp(Z 2 ) ;
– pour y ∈ Y, l’image δ[y, Z 2 ] de ¯
δ(¯ s, Z 2 ) par transfert à G η[y],SC (F ) ;
– l’image δ[y, Z] de δ[y, Z 2 ] par la composée de l’application ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
et
de la translation par exp(Z 1 ) ;
– l’image δ[y, Z]
˜
G de δ[y, Z] par l’application desc
˜
G,∗
η[y] .
La formule 5.2(7) devient
(2)
transfert(δ(˜ s, Z)
˜
G
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(˜ s, y)δ[y, Z]
˜
G .
On supprime de la notation les termes Z dans le cas où Z = 0.
On peut remplacer ˜
G par ˜
M dans les constructions ci-dessus. On ajoute
des exposants M pour indiquer les analogues pour ˜
M des termes précédemment
définis pour ˜
G. On obtient une assertion où la donnée de départ est un élément
δ SC ∈ D
st
g´ eom (M
,SC (F )). On aura besoin d’une variante où le groupe M
,SC
est remplacée par le groupe intermédiaire M
(˜ s) ,sc . Partons ainsi d’un élément
δ(˜ s) sc ∈ D
st
unip (M
(˜ s) ,sc (F )) (le cas unipotent nous suffira). On définit
– δ(˜ s) = ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s)1(˜ s) (δ(˜ s) sc ) ;
– l’image δ(˜ s)
˜
M
1 (˜ s) de δ(˜ s) par l’application desc
st, ˜
M
1 (˜ s)
1(˜ s)
.
C’est une distribution stable sur ˜
M
1 (˜ s; F ), dont les éléments du support ont
des parties semi-simples dans la classe de conjugaison stable O ˜
M
1 (˜ s) de 1 (˜ s).
On définit :
– l’image ¯
δ(¯ s) sc de δ(˜ s) sc par transfert endoscopique non standard ; c’est une
distribution stable sur ¯
M
(¯ s) sc (F ) ;
– ¯
δ(¯ s) = ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M ( ¯
δ(¯ s) sc ) ;
– pour y ∈ Y
M , l’image δ[y] de ¯
δ(¯ s) par la composée du transfert à M η[y],sc (F )
et de l’application ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
; c’est une distribution sur M η[y] (F ) ;
– l’image δ[y]
˜
M de δ[y, ] par l’application desc
˜
M,∗
η[y] .
C’est une distribution sur ˜
M (F ), dont les éléments du support ont des parties
semi-simples dans la classe de conjugaison stable O de η.
On a alors l’égalité
(3)
transfert(δ(˜ s)
˜
M
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y]d(˜ s, y)δ[y]
˜
M .
Cette variante se déduit facilement de la formule précédente. Il suffit d’utiliser
la formule 3.7(4) qui permet de permuter un transfert endoscopique avec une
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– l’image ¯
δ(¯ s) SC de δ(˜ s) SC par transfert endoscopique non standard ;
– l’image ¯
δ(¯ s, Z 2 ) de ¯
δ(¯ s) SC par la composée de l’application ι
∗
¯
G (¯ s)SC, ¯
G (¯ s)
et
de la translation par exp(Z 2 ) ;
– pour y ∈ Y, l’image δ[y, Z 2 ] de ¯
δ(¯ s, Z 2 ) par transfert à G η[y],SC (F ) ;
– l’image δ[y, Z] de δ[y, Z 2 ] par la composée de l’application ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
et
de la translation par exp(Z 1 ) ;
– l’image δ[y, Z]
˜
G de δ[y, Z] par l’application desc
˜
G,∗
η[y] .
La formule 5.2(7) devient
(2)
transfert(δ(˜ s, Z)
˜
G
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(˜ s, y)δ[y, Z]
˜
G .
On supprime de la notation les termes Z dans le cas où Z = 0.
On peut remplacer ˜
G par ˜
M dans les constructions ci-dessus. On ajoute
des exposants M pour indiquer les analogues pour ˜
M des termes précédemment
définis pour ˜
G. On obtient une assertion où la donnée de départ est un élément
δ SC ∈ D
st
g´ eom (M
,SC (F )). On aura besoin d’une variante où le groupe M
,SC
est remplacée par le groupe intermédiaire M
(˜ s) ,sc . Partons ainsi d’un élément
δ(˜ s) sc ∈ D
st
unip (M
(˜ s) ,sc (F )) (le cas unipotent nous suffira). On définit
– δ(˜ s) = ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s)1(˜ s) (δ(˜ s) sc ) ;
– l’image δ(˜ s)
˜
M
1 (˜ s) de δ(˜ s) par l’application desc
st, ˜
M
1 (˜ s)
1(˜ s)
.
C’est une distribution stable sur ˜
M
1 (˜ s; F ), dont les éléments du support ont
des parties semi-simples dans la classe de conjugaison stable O ˜
M
1 (˜ s) de 1 (˜ s).
On définit :
– l’image ¯
δ(¯ s) sc de δ(˜ s) sc par transfert endoscopique non standard ; c’est une
distribution stable sur ¯
M
(¯ s) sc (F ) ;
– ¯
δ(¯ s) = ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M ( ¯
δ(¯ s) sc ) ;
– pour y ∈ Y
M , l’image δ[y] de ¯
δ(¯ s) par la composée du transfert à M η[y],sc (F )
et de l’application ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
; c’est une distribution sur M η[y] (F ) ;
– l’image δ[y]
˜
M de δ[y, ] par l’application desc
˜
M,∗
η[y] .
C’est une distribution sur ˜
M (F ), dont les éléments du support ont des parties
semi-simples dans la classe de conjugaison stable O de η.
On a alors l’égalité
(3)
transfert(δ(˜ s)
˜
M
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y]d(˜ s, y)δ[y]
˜
M .
Cette variante se déduit facilement de la formule précédente. Il suffit d’utiliser
la formule 3.7(4) qui permet de permuter un transfert endoscopique avec une