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Chapitre III. Réductions et preuves
Pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , on a un diagramme similaire à celui écrit
plus haut
z(G)
ΓF ,θ
=
z(G)
ΓF ,θ
↓
↓
z( ¯
G)
ΓF
z(G
(˜ s))
ΓF
↓
↓
z( ¯
G
(¯ s))
ΓF
⊕ z( ¯
G)
ΓF
z(G
(˜ s) )
ΓF .
L’élément ˜
s appartient à S si et seulement si les deux flèches de droite sont des
isomorphismes. C’est équivalent à ce que celles de gauche soient elles-aussi des
isomorphismes. Que la flèche du haut à gauche soit un isomorphisme signifie que
A Gη = A ˜
G . Cette condition est indépendante de ˜
s. Si elle n’est pas vérifiée, l’ensemble S est donc vide. Si elle est vérifiée, la seule condition est que la flèche du
bas à gauche soit un isomorphisme, ce qui équivaut à l’ellipticité de G
(¯ s).
III.5.4 Facteurs de transfert et transfert des distributions
Pour fixer les notations, reprenons brièvement les constructions de 5.1 et 5.2. Soit
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On fixe des données auxiliaires G
1 (˜ s), . . . , Δ 1 (˜ s) pour la
donnée G
(˜ s). On note M
1 (˜ s), resp. ˜
M
1 (˜ s), l’image réciproque de M
dans G
1 (˜ s),
resp. de ˜
M
dans ˜
G
1 (˜ s). On fixe une image réciproque 1 (˜ s) de dans ˜
M
1 (˜ s; F ),
ainsi qu’une décomposition d’algèbres de Lie
g
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ g
(˜ s).
On en déduit des décompositions
g
1 (˜ s) 1(˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ g
(˜ s) ,
m
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ m
,
m
1 (˜ s) 1(˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ m
.
Pour y ∈ Y, on fixe un facteur de transfert sur G
(¯ s, F ) × G η[y],SC (F ) que
l’on note Δ(¯ s, y). Alors il existe d(˜ s, y) ∈ C
× tel que, pour des données comme en
5.1, on ait l’égalité
(1) d(˜ s, y)Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = Δ(˜ s) 1 (exp(Y ) 1 (˜ s), exp(X[y])η[y])
pourvu que X et Y soient assez proches de 0.
Pour appliquer la formule 5.2(7) à la donnée G
(˜ s), on glisse des termes ˜
s
ou ¯
s dans les notations. Fixons un élément Z ∈ z(G
(˜ s) , F ) assez proche de 0,
que l’on écrit Z = Z 1 + Z 2 avec Z 1 ∈ z( ¯
G; F ) et Z 2 ∈ z( ¯
G
(¯ s); F ). Soit δ(˜ s) SC ∈
D
st
g´ eom (G
(˜ s) ,SC (F )) à support assez proche de 1. On définit
– l’image δ(˜ s, Z) de δ(˜ s) SC par la composée de l’application ι
∗
G (˜ s),SC ,G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
et de la translation par exp(Z) ;
– l’image δ(˜ s, Z)
˜
G
1 (˜ s) de δ(˜ s, Z) par l’application desc
st, ˜
G
1 (˜ s)
1(˜ s)
;
Chapitre III. Réductions et preuves
Pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , on a un diagramme similaire à celui écrit
plus haut
z(G)
ΓF ,θ
=
z(G)
ΓF ,θ
↓
↓
z( ¯
G)
ΓF
z(G
(˜ s))
ΓF
↓
↓
z( ¯
G
(¯ s))
ΓF
⊕ z( ¯
G)
ΓF
z(G
(˜ s) )
ΓF .
L’élément ˜
s appartient à S si et seulement si les deux flèches de droite sont des
isomorphismes. C’est équivalent à ce que celles de gauche soient elles-aussi des
isomorphismes. Que la flèche du haut à gauche soit un isomorphisme signifie que
A Gη = A ˜
G . Cette condition est indépendante de ˜
s. Si elle n’est pas vérifiée, l’ensemble S est donc vide. Si elle est vérifiée, la seule condition est que la flèche du
bas à gauche soit un isomorphisme, ce qui équivaut à l’ellipticité de G
(¯ s).
III.5.4 Facteurs de transfert et transfert des distributions
Pour fixer les notations, reprenons brièvement les constructions de 5.1 et 5.2. Soit
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On fixe des données auxiliaires G
1 (˜ s), . . . , Δ 1 (˜ s) pour la
donnée G
(˜ s). On note M
1 (˜ s), resp. ˜
M
1 (˜ s), l’image réciproque de M
dans G
1 (˜ s),
resp. de ˜
M
dans ˜
G
1 (˜ s). On fixe une image réciproque 1 (˜ s) de dans ˜
M
1 (˜ s; F ),
ainsi qu’une décomposition d’algèbres de Lie
g
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ g
(˜ s).
On en déduit des décompositions
g
1 (˜ s) 1(˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ g
(˜ s) ,
m
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ m
,
m
1 (˜ s) 1(˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ m
.
Pour y ∈ Y, on fixe un facteur de transfert sur G
(¯ s, F ) × G η[y],SC (F ) que
l’on note Δ(¯ s, y). Alors il existe d(˜ s, y) ∈ C
× tel que, pour des données comme en
5.1, on ait l’égalité
(1) d(˜ s, y)Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = Δ(˜ s) 1 (exp(Y ) 1 (˜ s), exp(X[y])η[y])
pourvu que X et Y soient assez proches de 0.
Pour appliquer la formule 5.2(7) à la donnée G
(˜ s), on glisse des termes ˜
s
ou ¯
s dans les notations. Fixons un élément Z ∈ z(G
(˜ s) , F ) assez proche de 0,
que l’on écrit Z = Z 1 + Z 2 avec Z 1 ∈ z( ¯
G; F ) et Z 2 ∈ z( ¯
G
(¯ s); F ). Soit δ(˜ s) SC ∈
D
st
g´ eom (G
(˜ s) ,SC (F )) à support assez proche de 1. On définit
– l’image δ(˜ s, Z) de δ(˜ s) SC par la composée de l’application ι
∗
G (˜ s),SC ,G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
et de la translation par exp(Z) ;
– l’image δ(˜ s, Z)
˜
G
1 (˜ s) de δ(˜ s, Z) par l’application desc
st, ˜
G
1 (˜ s)
1(˜ s)
;