III.5. Descente et endoscopie
371
engendré par M
et B
est un élément de P
G
(˜ s) (M
). On voit alors que le sextuplet (, B
, T
, B, T, η) est encore un diagramme, avec cette fois pour espaces
ambiants ˜
G
(˜ s) et ˜
G, donnant naissance au même homomorphisme ξ. A partir du
diagramme (, B
, T
, B, T, η) et de G
(˜ s), on définit une donnée endoscopique de
¯
G SC . L’élément s s’envoie sur un élément ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad , plus précisément ¯
s ∈ ¯
ζZ( ˆ ¯
M )
ΓF .
En considérant les définitions de [79] 3.5, on s’aperçoit que la donnée endoscopique
de ¯
G SC que l’on construit ainsi n’est autre que celle associée à la donnée ¯
M
du
Levi ¯
M sc et à cet élément ¯
s. Nous la noterons ¯
G
(¯ s) = ( ¯
G
(¯ s), ¯
G
(¯ s), ¯
s). Fixons un
sous-groupe parabolique de ¯
G
(¯ s) défini sur F et de composante de Levi ¯
M
. On
note ¯
B
(¯ s) le sous-groupe de Borel de ¯
G
(¯ s) qui est inclus dans ce parabolique et
vérifie ¯
B
(¯ s) ∩ ¯
M
= ¯
B
¯
M
. Le couple ( ¯
B
(¯ s), ¯
T
) est une paire de Borel de ¯
G
(¯ s) qui
est définie sur F . On pose B
= ad
−1
m (B
). Alors (B
, T
) est une paire de Borel
de G
(˜ s) définie sur F . On note T
sc , resp. ¯
T
sc , l’image réciproque de T
dans
G
(˜ s) ,SC , resp. l’image réciproque de ¯
T
dans ¯
G
(¯ s) SC . On a un isomorphisme
j : ¯ t
sc ⊕ z( ¯
G
(¯ s)) ⊕ z( ¯
G) t
sc × z(G
(˜ s) )
qui vérifie des propriétés analogues à celles ci-dessus. C’est le même que plus haut,
modulo les identifications
¯ t
sc ¯ t
M−sc ⊕ z( ¯
M
(¯ s) sc ),
où ¯
M
(¯ s) sc est l’image réciproque de ¯
M
dans ¯
G
(¯ s) SC et
t
sc t
M −sc ⊕ z(M
(˜ s) ,sc ),
où M
(˜ s) ,sc est l’image réciproque de M
dans G
(˜ s) ,SC . De nouveau (avec
un léger abus de notation), on note j ∗ : X ∗ ( ¯
T
sc ) ⊗ Q → X ∗ (T
sc ) ⊗ Q l’isomorphisme sous-jacent à la restriction de l’homomorphisme j à ¯ t
sc . Le triplet
( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique non standard. Résumons les
isomorphismes obtenus :
(4)
z(G
(˜ s) )
→ z( ¯
G) ⊕ z( ¯
G
(¯ s))
z(M
) →
⊕
⊕
z(M
(˜ s) ,sc )
→
z( ¯
M
(¯ s) sc )
z( ¯
G)
→
z( ¯
G)
→
⊕
⊕
z( ¯
G
(¯ s)) ⊕ z( ¯
M
(¯ s) sc ) →
z( ¯
M
) .
Notons S l’ensemble des ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tels que G
(˜ s) soit elliptique et A G (˜ s) = A G (˜ s) . Montrons que
(5) si A Gη = A ˜
G , l’ensemble S est vide ;
(6) supposons A Gη = A ˜
G ; alors S est égal à l’ensemble des
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
tels que la donnée déduite G
(¯ s) de ¯
G SC soit elliptique.
371
engendré par M
et B
est un élément de P
G
(˜ s) (M
). On voit alors que le sextuplet (, B
, T
, B, T, η) est encore un diagramme, avec cette fois pour espaces
ambiants ˜
G
(˜ s) et ˜
G, donnant naissance au même homomorphisme ξ. A partir du
diagramme (, B
, T
, B, T, η) et de G
(˜ s), on définit une donnée endoscopique de
¯
G SC . L’élément s s’envoie sur un élément ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad , plus précisément ¯
s ∈ ¯
ζZ( ˆ ¯
M )
ΓF .
En considérant les définitions de [79] 3.5, on s’aperçoit que la donnée endoscopique
de ¯
G SC que l’on construit ainsi n’est autre que celle associée à la donnée ¯
M
du
Levi ¯
M sc et à cet élément ¯
s. Nous la noterons ¯
G
(¯ s) = ( ¯
G
(¯ s), ¯
G
(¯ s), ¯
s). Fixons un
sous-groupe parabolique de ¯
G
(¯ s) défini sur F et de composante de Levi ¯
M
. On
note ¯
B
(¯ s) le sous-groupe de Borel de ¯
G
(¯ s) qui est inclus dans ce parabolique et
vérifie ¯
B
(¯ s) ∩ ¯
M
= ¯
B
¯
M
. Le couple ( ¯
B
(¯ s), ¯
T
) est une paire de Borel de ¯
G
(¯ s) qui
est définie sur F . On pose B
= ad
−1
m (B
). Alors (B
, T
) est une paire de Borel
de G
(˜ s) définie sur F . On note T
sc , resp. ¯
T
sc , l’image réciproque de T
dans
G
(˜ s) ,SC , resp. l’image réciproque de ¯
T
dans ¯
G
(¯ s) SC . On a un isomorphisme
j : ¯ t
sc ⊕ z( ¯
G
(¯ s)) ⊕ z( ¯
G) t
sc × z(G
(˜ s) )
qui vérifie des propriétés analogues à celles ci-dessus. C’est le même que plus haut,
modulo les identifications
¯ t
sc ¯ t
M−sc ⊕ z( ¯
M
(¯ s) sc ),
où ¯
M
(¯ s) sc est l’image réciproque de ¯
M
dans ¯
G
(¯ s) SC et
t
sc t
M −sc ⊕ z(M
(˜ s) ,sc ),
où M
(˜ s) ,sc est l’image réciproque de M
dans G
(˜ s) ,SC . De nouveau (avec
un léger abus de notation), on note j ∗ : X ∗ ( ¯
T
sc ) ⊗ Q → X ∗ (T
sc ) ⊗ Q l’isomorphisme sous-jacent à la restriction de l’homomorphisme j à ¯ t
sc . Le triplet
( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique non standard. Résumons les
isomorphismes obtenus :
(4)
z(G
(˜ s) )
→ z( ¯
G) ⊕ z( ¯
G
(¯ s))
z(M
) →
⊕
⊕
z(M
(˜ s) ,sc )
→
z( ¯
M
(¯ s) sc )
z( ¯
G)
→
z( ¯
G)
→
⊕
⊕
z( ¯
G
(¯ s)) ⊕ z( ¯
M
(¯ s) sc ) →
z( ¯
M
) .
Notons S l’ensemble des ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tels que G
(˜ s) soit elliptique et A G (˜ s) = A G (˜ s) . Montrons que
(5) si A Gη = A ˜
G , l’ensemble S est vide ;
(6) supposons A Gη = A ˜
G ; alors S est égal à l’ensemble des
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
tels que la donnée déduite G
(¯ s) de ¯
G SC soit elliptique.