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Chapitre III. Réductions et preuves
qui est équivariant pour les actions galoisiennes. On note j ∗ : X ∗ ( ¯
T
M −sc ) ⊗ Q →
X ∗ (T
M−sc ) ⊗ Q l’isomorphisme sous-jacent à la restriction de l’homomorphisme
j à ¯ t
M −sc . Le triplet ( ¯
M
SC , M
,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique non standard.
On a le diagramme suivant
z(M )
ΓF ,θ
= z(M )
ΓF ,θ
↓
z( ¯
M )
ΓF
↓
z(M
)
ΓF
z( ¯
M sc )
ΓF
⊕ z( ¯
G)
ΓF
↓
↓
z( ¯
M
)
ΓF
⊕ z( ¯
G)
ΓF
z(M
)
ΓF .
On suppose désormais
(1) est elliptique dans ˜
M
(F ).
Les flèches de droite du diagramme sont des isomorphismes parce que M
est une donnée elliptique de (M, ˜
M , a) et que est elliptique dans ˜
M
(F ). Les
flèches de gauche sont donc aussi des isomorphismes. Pour la flèche du haut, cela
entraîne que η est elliptique dans ˜
M (F ). Pour celle du bas, cela entraîne que
M
est une donnée endoscopique elliptique de ¯
M sc . Rappelons que, dans cette
situation non tordue et sur un corps local non-archimédien, une telle donnée est
automatiquement relevante.
L’ellipticité de η entraîne dualement que
(2) l’homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF ,0
est surjectif et de noyau fini.
Puisque Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ s’envoie évidemment dans Z( ˆ ¯
G)
ΓF et puisque les quotients
ci-dessous sont connexes, on a aussi
(3) l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF /Z( ˆ ¯
G)
ΓF
est surjectif.
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Le groupe ˆ
G (˜ s) est la composante neutre du
centralisateur de ˜
s dans ˆ
G. Il est muni de la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G
(˜ s), ˆ
T
ˆ
θ,0 ). De
même que l’on a construit le groupe B, on construit un groupe de Borel B
de
G
(˜ s) de sorte que l’identification X ∗ (T
) X
∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ) déduite des paires (B
, T
)
et ( ˆ
B ∩ ˆ
G
(˜ s), ˆ
T
ˆ
θ,0 ) soit la même que celle ci-dessus. De nouveau, le groupe P