III.5. Descente et endoscopie
369
Fixons un diagramme
(, B
M
, T
, B
M , T, η)
cf. [I] 1.10. Les espaces ambiants sont ˜
M
et ˜
M . Le terme η est un élément semisimple de ˜
M (F ) et est un élément semi-simple de ˜
M
(F ). On suppose que M
est quasi-déployé.
Les deux paires de Borel (B
M , T ) de M et ( ˆ
B ∩ ˆ
M , ˆ
T ) de ˆ
M fournissent
une identification X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ), qui transporte l’action de θ = ad η en ˆ
θ. On
introduit le groupe de Borel B de G contenant T dont l’ensemble de coracines
simples s’identifie à l’ensemble des racines simples de ˆ
B. Il est clair que les deux
paires de Borel (B, T ) de G et ( ˆ
B, ˆ
T ) de ˆ
G fournissent la même identification
X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ) que ci-dessus. On vérifie d’ailleurs que le groupe P engendré par
B et M est un élément de P(M ) et que l’ensemble ˜
P = P η est un élément de
P( ˜
M ). De la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
M
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ) de ˆ
M
et de la paire (B
M
, T
) de M
se déduit une identification X ∗ (T
) X
∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Posons ( ¯
B, ¯
T ) = (B ∩ G η , T ∩ G η ), complétons cette paire en une paire de
Borel épinglée de G η et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée sur G η qui
la conserve. Elle est de la forme σ → σ ¯
G = ad ¯
u(σ) ◦σ G , cf. 5.1. Parce que P ∩G η est
défini sur F pour l’action galoisienne naturelle, on a nécessairement ¯
u(σ) ∈ M η,sc .
Donc M η est stable par l’action σ → σ ¯
G et les deux actions galoisiennes coïncident
sur Z(M η ). On note ¯
G, resp. ¯
M , le groupe G η , resp. M η , muni de l’action σ → σ ¯
G .
Complétons de même la paire de Borel (B, T ) de G en une paire de Borel épinglée
et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée sur G qui conserve celle-ci. Elle
est de la forme σ → σ G ∗ = ad u(σ) ◦σ G , où u(σ) ∈ G SC . Toujours parce que P
est défini sur F pour l’action galoisienne naturelle, on a u(σ) ∈ M sc . Donc M
est stable par l’action σ → σ G ∗ et les deux actions coïncident sur Z(M ). On a
σ ¯
G = ad ¯
u(σ)u(σ) −1 ◦σ G ∗ . L’élément ¯
u(σ)u(σ)
−1 appartient à M sc . Il s’envoie donc
sur un élément du groupe de Weyl W
M que l’on note ω ¯
M (σ). Il est fixe par θ. Le
groupe ˆ ¯
M est le commutant dans ˆ ¯
G de l’image dans ˆ ¯
T de Z( ˆ
M ).
On peut définir comme en 5.1 une donnée endoscopique de ¯
M SC associée à
la donnée M
et au diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η). Mais on peut aussi refaire
la même construction en remplaçant le groupe ¯
M SC par l’image réciproque ¯
M sc
de ¯
M dans ¯
G SC . On obtient une donnée endoscopique de ¯
M sc . C’est celle-là que
nous noterons ¯
M
= ( ¯
M
, ¯
M
, ¯
ζ).
Fixons une paire de Borel (B
M
,, , T
) de M
définie sur F et un élément
m
∈ M
,SC tel que ad m envoie cette paire sur (B
M
∩ M
, T
). Fixons une paire
de Borel ( ¯
B
¯
M
, ¯
T
) de ¯
M
définie sur F . Pour une raison qui apparaîtra plus loin,
on note T
M−sc , resp. ¯
T
M −sc , l’image réciproque de T
dans M
,SC , resp. l’image
réciproque de ¯
T
dans ¯
M
SC . Comme en 5.1, on a un isomorphisme d’algèbres de
Lie
j : ¯ t
M −sc ⊕ z( ¯
M
) ⊕ z( ¯
G) t
M−sc ⊕ z(M
)
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Fixons un diagramme
(, B
M
, T
, B
M , T, η)
cf. [I] 1.10. Les espaces ambiants sont ˜
M
et ˜
M . Le terme η est un élément semisimple de ˜
M (F ) et est un élément semi-simple de ˜
M
(F ). On suppose que M
est quasi-déployé.
Les deux paires de Borel (B
M , T ) de M et ( ˆ
B ∩ ˆ
M , ˆ
T ) de ˆ
M fournissent
une identification X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ), qui transporte l’action de θ = ad η en ˆ
θ. On
introduit le groupe de Borel B de G contenant T dont l’ensemble de coracines
simples s’identifie à l’ensemble des racines simples de ˆ
B. Il est clair que les deux
paires de Borel (B, T ) de G et ( ˆ
B, ˆ
T ) de ˆ
G fournissent la même identification
X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ) que ci-dessus. On vérifie d’ailleurs que le groupe P engendré par
B et M est un élément de P(M ) et que l’ensemble ˜
P = P η est un élément de
P( ˜
M ). De la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
M
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ) de ˆ
M
et de la paire (B
M
, T
) de M
se déduit une identification X ∗ (T
) X
∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Posons ( ¯
B, ¯
T ) = (B ∩ G η , T ∩ G η ), complétons cette paire en une paire de
Borel épinglée de G η et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée sur G η qui
la conserve. Elle est de la forme σ → σ ¯
G = ad ¯
u(σ) ◦σ G , cf. 5.1. Parce que P ∩G η est
défini sur F pour l’action galoisienne naturelle, on a nécessairement ¯
u(σ) ∈ M η,sc .
Donc M η est stable par l’action σ → σ ¯
G et les deux actions galoisiennes coïncident
sur Z(M η ). On note ¯
G, resp. ¯
M , le groupe G η , resp. M η , muni de l’action σ → σ ¯
G .
Complétons de même la paire de Borel (B, T ) de G en une paire de Borel épinglée
et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée sur G qui conserve celle-ci. Elle
est de la forme σ → σ G ∗ = ad u(σ) ◦σ G , où u(σ) ∈ G SC . Toujours parce que P
est défini sur F pour l’action galoisienne naturelle, on a u(σ) ∈ M sc . Donc M
est stable par l’action σ → σ G ∗ et les deux actions coïncident sur Z(M ). On a
σ ¯
G = ad ¯
u(σ)u(σ) −1 ◦σ G ∗ . L’élément ¯
u(σ)u(σ)
−1 appartient à M sc . Il s’envoie donc
sur un élément du groupe de Weyl W
M que l’on note ω ¯
M (σ). Il est fixe par θ. Le
groupe ˆ ¯
M est le commutant dans ˆ ¯
G de l’image dans ˆ ¯
T de Z( ˆ
M ).
On peut définir comme en 5.1 une donnée endoscopique de ¯
M SC associée à
la donnée M
et au diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η). Mais on peut aussi refaire
la même construction en remplaçant le groupe ¯
M SC par l’image réciproque ¯
M sc
de ¯
M dans ¯
G SC . On obtient une donnée endoscopique de ¯
M sc . C’est celle-là que
nous noterons ¯
M
= ( ¯
M
, ¯
M
, ¯
ζ).
Fixons une paire de Borel (B
M
,, , T
) de M
définie sur F et un élément
m
∈ M
,SC tel que ad m envoie cette paire sur (B
M
∩ M
, T
). Fixons une paire
de Borel ( ¯
B
¯
M
, ¯
T
) de ¯
M
définie sur F . Pour une raison qui apparaîtra plus loin,
on note T
M−sc , resp. ¯
T
M −sc , l’image réciproque de T
dans M
,SC , resp. l’image
réciproque de ¯
T
dans ¯
M
SC . Comme en 5.1, on a un isomorphisme d’algèbres de
Lie
j : ¯ t
M −sc ⊕ z( ¯
M
) ⊕ z( ¯
G) t
M−sc ⊕ z(M
)