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Chapitre III. Réductions et preuves
Fixons un élément Z ∈ z(G
, F ) assez proche de 0, que l’on écrit Z = Z 1 + Z 2
comme en 5.1. Soit δ SC ∈ D
st
g´ eom (G
,SC (F )) à support assez proche de 1. On définit
– l’image δ(Z) de δ SC par la composée de l’application ι
∗
G
,SC ,G
1,, 1
et de la
translation par exp(Z) ;
– l’image δ(Z)
˜
G
1 de δ(Z) par l’application desc
st, ˜
G
1
1
.
C’est une distribution stable sur ˜
G
1 (F ), à support proche de la classe de
conjugaison stable O
˜
G1 de 1 .
On définit :
– l’image ¯
δ SC de δ SC par transfert endoscopique non standard (on doit descendre les distributions aux algèbres de Lie pour définir ce transfert) ; c’est
une distribution stable sur ¯
G
SC (F ) ;
– l’image ¯
δ(Z 2 ) de ¯
δ SC par la composée de l’application ι
∗
¯
G
SC , ¯
G et de la translation par exp(Z 2 ) ;
– pour y ∈ Y, l’image δ[y, Z 2 ] de ¯
δ(Z 2 ) par transfert à G η[y],SC (F ), avec la
convention que ce transfert est nul si ¯
G
n’est pas relevante pour G η[y],SC ;
– l’image δ[y, Z] de δ[y, Z 2 ] par la composée de l’application ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
et
de la translation par exp(Z 1 ) ; c’est une distribution sur G η[y] (F ) ;
– l’image δ[y, Z]
˜
G de δ[y, Z] par l’application desc
˜
G,∗
η[y] .
C’est une distribution sur ˜
G(F ), à support proche de la classe de conjugaison
stable O
˜
G de η.
A partir de l’égalité (1), un calcul formel conduit à l’égalité
(7)
transfert(δ(Z)
˜
G
1 ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)δ[y, Z]
˜
G .
On supprime de la notation les termes Z dans le cas où Z = 0.
III.5.3 Levi et descente de données endoscopiques
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
=
(M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a).
D’après [I] paragraphe 3, on peut réaliser les objets duaux de la façon suivante. On fixe une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G. On note
ˆ
θ l’automorphisme dual de θ
∗ qui conserve cette paire. On modifie l’action galoisienne de sorte que ˆ
E soit stable par cette action. On suppose que ˆ
M est standard
et on munit ce groupe de la paire de Borel épinglée ˆ
E
M = ( ˆ
B ∩ ˆ
M, ˆ
T , ( ˆ
E α )
M
α∈Δ ).
On suppose ˜
ζ = ζ ˆ
θ avec ζ ∈ ˆ
T . On suppose ζ tel que le cocycle qui intervient
dans la définition d’une donnée endoscopique prenne ses valeurs dans Z( ˆ
G). On
munit ˆ
M
d’une paire de Borel épinglée ˆ
E
M
dont la paire de Borel sous-jacente
soit ( ˆ
B ∩ ˆ
M
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Chapitre III. Réductions et preuves
Fixons un élément Z ∈ z(G
, F ) assez proche de 0, que l’on écrit Z = Z 1 + Z 2
comme en 5.1. Soit δ SC ∈ D
st
g´ eom (G
,SC (F )) à support assez proche de 1. On définit
– l’image δ(Z) de δ SC par la composée de l’application ι
∗
G
,SC ,G
1,, 1
et de la
translation par exp(Z) ;
– l’image δ(Z)
˜
G
1 de δ(Z) par l’application desc
st, ˜
G
1
1
.
C’est une distribution stable sur ˜
G
1 (F ), à support proche de la classe de
conjugaison stable O
˜
G1 de 1 .
On définit :
– l’image ¯
δ SC de δ SC par transfert endoscopique non standard (on doit descendre les distributions aux algèbres de Lie pour définir ce transfert) ; c’est
une distribution stable sur ¯
G
SC (F ) ;
– l’image ¯
δ(Z 2 ) de ¯
δ SC par la composée de l’application ι
∗
¯
G
SC , ¯
G et de la translation par exp(Z 2 ) ;
– pour y ∈ Y, l’image δ[y, Z 2 ] de ¯
δ(Z 2 ) par transfert à G η[y],SC (F ), avec la
convention que ce transfert est nul si ¯
G
n’est pas relevante pour G η[y],SC ;
– l’image δ[y, Z] de δ[y, Z 2 ] par la composée de l’application ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
et
de la translation par exp(Z 1 ) ; c’est une distribution sur G η[y] (F ) ;
– l’image δ[y, Z]
˜
G de δ[y, Z] par l’application desc
˜
G,∗
η[y] .
C’est une distribution sur ˜
G(F ), à support proche de la classe de conjugaison
stable O
˜
G de η.
A partir de l’égalité (1), un calcul formel conduit à l’égalité
(7)
transfert(δ(Z)
˜
G
1 ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)δ[y, Z]
˜
G .
On supprime de la notation les termes Z dans le cas où Z = 0.
III.5.3 Levi et descente de données endoscopiques
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
=
(M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a).
D’après [I] paragraphe 3, on peut réaliser les objets duaux de la façon suivante. On fixe une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G. On note
ˆ
θ l’automorphisme dual de θ
∗ qui conserve cette paire. On modifie l’action galoisienne de sorte que ˆ
E soit stable par cette action. On suppose que ˆ
M est standard
et on munit ce groupe de la paire de Borel épinglée ˆ
E
M = ( ˆ
B ∩ ˆ
M, ˆ
T , ( ˆ
E α )
M
α∈Δ ).
On suppose ˜
ζ = ζ ˆ
θ avec ζ ∈ ˆ
T . On suppose ζ tel que le cocycle qui intervient
dans la définition d’une donnée endoscopique prenne ses valeurs dans Z( ˆ
G). On
munit ˆ
M
d’une paire de Borel épinglée ˆ
E
M
dont la paire de Borel sous-jacente
soit ( ˆ
B ∩ ˆ
M
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ).