III.5. Descente et endoscopie
367
L’égalité précédente devient
(1)
S
G
,SC (exp(Y sc ), f
(Z) sc ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)S
¯
G
SC (exp( ¯
Y sc ), ¯
f [y, Z] sc ).
Remarquons que les termes Y sc et Z jouent le rôle de variables indépendantes. Les
définitions des fonctions f
(Z) sc et ¯
f [y, Z] sc conservent un sens pour Z = 0. On
note f
sc et ¯
f [y] sc leurs valeurs en Z = 0. On obtient l’égalité
(2)
S
G
,SC (exp(Y sc ), f
sc ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)S
¯
G
SC (exp( ¯
Y sc ), ¯
f [y] sc ).
Remarques.
(3) Dans [79], on n’avait pas de constantes d(y) simplement parce qu’on avait
normalisé les facteurs de transfert de sorte que ces constantes vaillent 1.
(4) La définition de la fonction f [y] sc dans [79] est plus directe que celle cidessus. Elle consiste à remplacer l’application ι G η[y],SC ,G η[y] utilisée ici par la
simple image réciproque. C’est-à-dire que l’on ne moyenne pas cette image
réciproque par l’action adjointe de G η[y] (F ). Mais la formule 5.1(3) implique
que le facteur de transfert Δ(y) est ω-équivariant par cette action. Il en
résulte aisément que les deux définitions possibles de f [y] sc donnent le même
transfert ¯
f [y].
(5) La formule (2) nécessite des compatibilités entre les mesures choisies. Notons
T Ysc le commmutant de Y sc dans G
,SC et T ¯
Ysc celui de ¯
Y sc dans ¯
G
SC . Pour
définir les intégrales orbitales stables, on doit fixer des mesures sur T Ysc (F )
et T ¯
Ysc (F ). Via l’exponentielle, il revient au même de fixer des mesures sur
t Ysc (F ) et t ¯
Ysc (F ). Or on est dans une situation d’endoscopie non standard et
ces algèbres de Lie sont naturellement isomorphes. On choisit des mesures qui
se correspondent par cet isomorphisme. D’autre part, dans les passages entre
groupes et revêtements simplement connexes, il est nécessaire de fixer des
mesures sur les centres. Précisément, on doit fixer des mesures sur Z(G
)
0 (F ),
Z(G η[y] )
0 (F ) et Z( ¯
G
)
0 (F ). De nouveau, on peut remplacer ces groupes par
les algèbres de Lie correspondantes. Mais alors la première est naturellement
isomorphe à la somme directe des deux autres, cf. 5.1(1). On choisit des
mesures qui se correspondent par cet isomorphisme.
Seul compte pour nous le comportement des fonctions f
sc et ¯
f [y] sc dans des
voisinages de l’unité invariants par conjugaison stable. On peut donc aussi bien
descendre ces fonctions par l’exponentielle et considérer qu’elles sont définies sur
des algèbres de Lie. Pour simplifier, on ne change pas leur notation. Alors l’égalité
(2) équivaut à l’égalité
(6)
f
sc = transfert(
y∈ ˙
Y
c[y]d(y) ¯
f [y] sc ),
où transfert est ici le transfert non standard de ¯
G
SC à G
,SC .
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L’égalité précédente devient
(1)
S
G
,SC (exp(Y sc ), f
(Z) sc ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)S
¯
G
SC (exp( ¯
Y sc ), ¯
f [y, Z] sc ).
Remarquons que les termes Y sc et Z jouent le rôle de variables indépendantes. Les
définitions des fonctions f
(Z) sc et ¯
f [y, Z] sc conservent un sens pour Z = 0. On
note f
sc et ¯
f [y] sc leurs valeurs en Z = 0. On obtient l’égalité
(2)
S
G
,SC (exp(Y sc ), f
sc ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)S
¯
G
SC (exp( ¯
Y sc ), ¯
f [y] sc ).
Remarques.
(3) Dans [79], on n’avait pas de constantes d(y) simplement parce qu’on avait
normalisé les facteurs de transfert de sorte que ces constantes vaillent 1.
(4) La définition de la fonction f [y] sc dans [79] est plus directe que celle cidessus. Elle consiste à remplacer l’application ι G η[y],SC ,G η[y] utilisée ici par la
simple image réciproque. C’est-à-dire que l’on ne moyenne pas cette image
réciproque par l’action adjointe de G η[y] (F ). Mais la formule 5.1(3) implique
que le facteur de transfert Δ(y) est ω-équivariant par cette action. Il en
résulte aisément que les deux définitions possibles de f [y] sc donnent le même
transfert ¯
f [y].
(5) La formule (2) nécessite des compatibilités entre les mesures choisies. Notons
T Ysc le commmutant de Y sc dans G
,SC et T ¯
Ysc celui de ¯
Y sc dans ¯
G
SC . Pour
définir les intégrales orbitales stables, on doit fixer des mesures sur T Ysc (F )
et T ¯
Ysc (F ). Via l’exponentielle, il revient au même de fixer des mesures sur
t Ysc (F ) et t ¯
Ysc (F ). Or on est dans une situation d’endoscopie non standard et
ces algèbres de Lie sont naturellement isomorphes. On choisit des mesures qui
se correspondent par cet isomorphisme. D’autre part, dans les passages entre
groupes et revêtements simplement connexes, il est nécessaire de fixer des
mesures sur les centres. Précisément, on doit fixer des mesures sur Z(G
)
0 (F ),
Z(G η[y] )
0 (F ) et Z( ¯
G
)
0 (F ). De nouveau, on peut remplacer ces groupes par
les algèbres de Lie correspondantes. Mais alors la première est naturellement
isomorphe à la somme directe des deux autres, cf. 5.1(1). On choisit des
mesures qui se correspondent par cet isomorphisme.
Seul compte pour nous le comportement des fonctions f
sc et ¯
f [y] sc dans des
voisinages de l’unité invariants par conjugaison stable. On peut donc aussi bien
descendre ces fonctions par l’exponentielle et considérer qu’elles sont définies sur
des algèbres de Lie. Pour simplifier, on ne change pas leur notation. Alors l’égalité
(2) équivaut à l’égalité
(6)
f
sc = transfert(
y∈ ˙
Y
c[y]d(y) ¯
f [y] sc ),
où transfert est ici le transfert non standard de ¯
G
SC à G
,SC .