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Chapitre III. Réductions et preuves
III.5.2 Transfert des fonctions et des distributions
Fixons des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant, auxquelles on imposera quelques conditions de compatibilité, cf. remarque (5) ci-dessous. Soient
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) et Y ∈ g
(F ) comme en 5.1. On utilise pour Y les définitions de
ce paragraphe (Y sc , Z etc. . .). On définit
– le transfert f
= f
˜
G
1 de f , qui est une fonction sur ˜
G
1 (F ) ;
– l’image f
1 de f
˜
G
1 par l’application de descente desc
st, ˜
G
1
1
; c’est une fonction
sur G
1,,1 (F ) ;
– l’image f
(Z) sc de la fonction x → f
1 (exp(Z)x) par l’application ι G ,SC ,G
1,, 1
;
c’est une fonction sur G
,SC (F ) (on remarque que G
,SC est aussi le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de G
1,,1 ).
Soit y ∈ Y. Définissons
– l’image f [y] de f par l’application de descente desc
˜
G
η[y] ; c’est une fonction sur
G η[y] (F ) ;
– l’image f [y, Z 1 ] sc de la fonction x → f [y](exp(Z 1 )x) par l’application
ι G η[y],SC ,G η[y] ;
c’est une fonction sur G η[y],SC (F ) ;
– le transfert ¯
f [y, Z 1 ] de f [y, Z 1 ] sc ; c’est une fonction sur ¯
G
(F ) qui est nulle
si ¯
G
n’est pas relevante pour G η[y],SC ;
– l’image ¯
f [y, Z] sc de la fonction x → ¯
f [y, Z 1 ](exp(Z 2 )x) par l’application
ι ¯
G
SC , ¯
G ; c’est une fonction sur ¯
G
SC (F ).
On pose
c[y] = [I η[y] (F ) : G η[y] (F )]
−1 .
Fixons un ensemble de représentants ˙
Y de l’ensemble de doubles classes
I η \Y/G(F ). Avec les notations ci-dessus, le lemme 3.11 de [79] affirme l’égalité
S
˜
G
1
λ1 (exp(Y ) 1 , f
˜
G
1 ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)S
¯
G
(exp( ¯
Y ), ¯
f [y, Z 1 ])
pourvu que Y soit assez proche de 0, cette notion étant indépendante de f . Le
terme d(y) n’a été défini que dans le cas où ¯
G
est relevante pour G η[y],SC . Par
convention, il est nul dans le cas contraire (la fonction ¯
f [y, Z 1 ] est nulle dans ce
cas). D’après les définitions, on a
S
˜
G
1
λ1 (exp(Y ) 1 , f
˜
G
1 ) = S
G
,SC (exp(Y sc ), f
(Z) sc ),
S
¯
G
(exp( ¯
Y ), ¯
f [y, Z 1 ]) = S
¯
G
SC (exp( ¯
Y sc ), ¯
f [y, Z] sc ).
Chapitre III. Réductions et preuves
III.5.2 Transfert des fonctions et des distributions
Fixons des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant, auxquelles on imposera quelques conditions de compatibilité, cf. remarque (5) ci-dessous. Soient
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) et Y ∈ g
(F ) comme en 5.1. On utilise pour Y les définitions de
ce paragraphe (Y sc , Z etc. . .). On définit
– le transfert f
= f
˜
G
1 de f , qui est une fonction sur ˜
G
1 (F ) ;
– l’image f
1 de f
˜
G
1 par l’application de descente desc
st, ˜
G
1
1
; c’est une fonction
sur G
1,,1 (F ) ;
– l’image f
(Z) sc de la fonction x → f
1 (exp(Z)x) par l’application ι G ,SC ,G
1,, 1
;
c’est une fonction sur G
,SC (F ) (on remarque que G
,SC est aussi le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de G
1,,1 ).
Soit y ∈ Y. Définissons
– l’image f [y] de f par l’application de descente desc
˜
G
η[y] ; c’est une fonction sur
G η[y] (F ) ;
– l’image f [y, Z 1 ] sc de la fonction x → f [y](exp(Z 1 )x) par l’application
ι G η[y],SC ,G η[y] ;
c’est une fonction sur G η[y],SC (F ) ;
– le transfert ¯
f [y, Z 1 ] de f [y, Z 1 ] sc ; c’est une fonction sur ¯
G
(F ) qui est nulle
si ¯
G
n’est pas relevante pour G η[y],SC ;
– l’image ¯
f [y, Z] sc de la fonction x → ¯
f [y, Z 1 ](exp(Z 2 )x) par l’application
ι ¯
G
SC , ¯
G ; c’est une fonction sur ¯
G
SC (F ).
On pose
c[y] = [I η[y] (F ) : G η[y] (F )]
−1 .
Fixons un ensemble de représentants ˙
Y de l’ensemble de doubles classes
I η \Y/G(F ). Avec les notations ci-dessus, le lemme 3.11 de [79] affirme l’égalité
S
˜
G
1
λ1 (exp(Y ) 1 , f
˜
G
1 ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(y)S
¯
G
(exp( ¯
Y ), ¯
f [y, Z 1 ])
pourvu que Y soit assez proche de 0, cette notion étant indépendante de f . Le
terme d(y) n’a été défini que dans le cas où ¯
G
est relevante pour G η[y],SC . Par
convention, il est nul dans le cas contraire (la fonction ¯
f [y, Z 1 ] est nulle dans ce
cas). D’après les définitions, on a
S
˜
G
1
λ1 (exp(Y ) 1 , f
˜
G
1 ) = S
G
,SC (exp(Y sc ), f
(Z) sc ),
S
¯
G
(exp( ¯
Y ), ¯
f [y, Z 1 ]) = S
¯
G
SC (exp( ¯
Y sc ), ¯
f [y, Z] sc ).