III.5. Descente et endoscopie
365
Par composition, on en déduit un isomorphisme d’algèbres de Lie
j : ¯ t
sc ⊕ z( ¯
G
) ⊕ z( ¯
G) t
sc ⊕ z(G
).
On a vu en [79] 3.5 que cet isomorphisme était équivariant pour les actions galoisiennes et se restreignait en un isomorphisme de ¯ t
sc sur t
sc et un isomorphisme
(1)
z( ¯
G) ⊕ z( ¯
G
) z(G
).
On note j ∗ : X ∗ ( ¯
T
sc )⊗Q → X ∗ (T
sc )⊗Q l’isomorphisme sous-jacent à la restriction
de l’homomorphisme j à ¯ t
sc . Le triplet ( ¯
G
SC , G
,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique
non standard, cf. [79] 1.7.
Cas particulier. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors les
triplets endoscopiques non standard sont triviaux, c’est-à-dire que ¯
G
SC = G
,SC .
En fait, dans ce cas, on n’a pas besoin de passer au revêtements simplement
connexes des groupes dérivés (ce passage sert en général à trivialiser le caractère
ω). Le groupe G
est celui d’une donnée endoscopique de ¯
G.
Fixons des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 pour la donnée G
. On fixe une
image réciproque 1 de dans ˜
G
1 (F ) ainsi qu’une décomposition d’algèbres de Lie
(2)
g
1 = c 1 ⊕ g
.
Notons Y l’ensemble des y ∈ G tels que yσ(y)
−1
∈ I η pour tout σ ∈ Γ F , où
I η = Z(G)
θ G η . Pour tout y ∈ Y, on pose η[y] = y
−1 ηy. Notons pour plus de
clarté ψ : G η → ¯
G l’identité, qui est un torseur pour les actions galoisiennes
définies sur ces deux groupes. On a défini la donnée endoscopique ¯
G
de ¯
G SC .
L’application ψ ◦ ad y : G η[y] → ¯
G est un torseur intérieur grâce auquel ¯
G
apparaît
aussi comme une donnée endoscopique pour G η[y],SC . Supposons que cette donnée
soit relevante. Il s’agit ici d’endoscopie non tordue. De plus, le groupe G η[y],SC
est simplement connexe. On sait qu’alors on n’a pas besoin de données auxiliaires,
on peut définir un facteur de transfert sur ¯
G
(F ) × G η[y],SC (F ). On fixe un tel
facteur de transfert Δ(y). Soit Y ∈ g
(F ) en position générale et assez proche de
0, que l’on identifie par (2) à un élément de g
1,,1 (F ). On le décompose en Y sc + Z
avec Y sc ∈ g
,SC (F ) et Z ∈ z(G
; F ). Via l’isomorphisme (1), on décompose Z en
Z 1 + Z 2 , avec Z 1 ∈ z( ¯
G; F ) et Z 2 ∈ z( ¯
G
; F ). Par endoscopie non standard, Y sc
détermine une classe de conjugaison stable dans ¯ g
SC (F ). Fixons ¯
Y sc dans cette
classe. Posons ¯
Y = ¯
Y sc + Z 2 . Par endoscopie ordinaire, il peut correspondre ou
pas à ¯
Y une classe de conjugaison stable dans g η[y],SC (F ). Supposons que cette
classe existe et fixons un élément X[y] sc de cette classe. Puisque ¯
G est une forme
intérieure de G η[y] , les espaces z( ¯
G) et z(G η[y] ) s’identifient et on peut considérer
Z 1 comme un élément de z(G η[y] ; F ). On pose X[y] = X[y] sc + Z 1 . Rappelons
le théorème 3.9 de [79] : il existe d(y) ∈ C
× tel que, pour des données comme
ci-dessus, on ait l’égalité
(3)
d(y)Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])
pourvu que X et Y soient assez proches de 0.
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Par composition, on en déduit un isomorphisme d’algèbres de Lie
j : ¯ t
sc ⊕ z( ¯
G
) ⊕ z( ¯
G) t
sc ⊕ z(G
).
On a vu en [79] 3.5 que cet isomorphisme était équivariant pour les actions galoisiennes et se restreignait en un isomorphisme de ¯ t
sc sur t
sc et un isomorphisme
(1)
z( ¯
G) ⊕ z( ¯
G
) z(G
).
On note j ∗ : X ∗ ( ¯
T
sc )⊗Q → X ∗ (T
sc )⊗Q l’isomorphisme sous-jacent à la restriction
de l’homomorphisme j à ¯ t
sc . Le triplet ( ¯
G
SC , G
,SC , j ∗ ) est un triplet endoscopique
non standard, cf. [79] 1.7.
Cas particulier. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors les
triplets endoscopiques non standard sont triviaux, c’est-à-dire que ¯
G
SC = G
,SC .
En fait, dans ce cas, on n’a pas besoin de passer au revêtements simplement
connexes des groupes dérivés (ce passage sert en général à trivialiser le caractère
ω). Le groupe G
est celui d’une donnée endoscopique de ¯
G.
Fixons des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 pour la donnée G
. On fixe une
image réciproque 1 de dans ˜
G
1 (F ) ainsi qu’une décomposition d’algèbres de Lie
(2)
g
1 = c 1 ⊕ g
.
Notons Y l’ensemble des y ∈ G tels que yσ(y)
−1
∈ I η pour tout σ ∈ Γ F , où
I η = Z(G)
θ G η . Pour tout y ∈ Y, on pose η[y] = y
−1 ηy. Notons pour plus de
clarté ψ : G η → ¯
G l’identité, qui est un torseur pour les actions galoisiennes
définies sur ces deux groupes. On a défini la donnée endoscopique ¯
G
de ¯
G SC .
L’application ψ ◦ ad y : G η[y] → ¯
G est un torseur intérieur grâce auquel ¯
G
apparaît
aussi comme une donnée endoscopique pour G η[y],SC . Supposons que cette donnée
soit relevante. Il s’agit ici d’endoscopie non tordue. De plus, le groupe G η[y],SC
est simplement connexe. On sait qu’alors on n’a pas besoin de données auxiliaires,
on peut définir un facteur de transfert sur ¯
G
(F ) × G η[y],SC (F ). On fixe un tel
facteur de transfert Δ(y). Soit Y ∈ g
(F ) en position générale et assez proche de
0, que l’on identifie par (2) à un élément de g
1,,1 (F ). On le décompose en Y sc + Z
avec Y sc ∈ g
,SC (F ) et Z ∈ z(G
; F ). Via l’isomorphisme (1), on décompose Z en
Z 1 + Z 2 , avec Z 1 ∈ z( ¯
G; F ) et Z 2 ∈ z( ¯
G
; F ). Par endoscopie non standard, Y sc
détermine une classe de conjugaison stable dans ¯ g
SC (F ). Fixons ¯
Y sc dans cette
classe. Posons ¯
Y = ¯
Y sc + Z 2 . Par endoscopie ordinaire, il peut correspondre ou
pas à ¯
Y une classe de conjugaison stable dans g η[y],SC (F ). Supposons que cette
classe existe et fixons un élément X[y] sc de cette classe. Puisque ¯
G est une forme
intérieure de G η[y] , les espaces z( ¯
G) et z(G η[y] ) s’identifient et on peut considérer
Z 1 comme un élément de z(G η[y] ; F ). On pose X[y] = X[y] sc + Z 1 . Rappelons
le théorème 3.9 de [79] : il existe d(y) ∈ C
× tel que, pour des données comme
ci-dessus, on ait l’égalité
(3)
d(y)Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])
pourvu que X et Y soient assez proches de 0.