364
Chapitre III. Réductions et preuves
cf. [I] 1.10. Le terme η est un élément semi-simple de ˜
G(F ) et est un élément
semi-simple de ˜
G
(F ). On suppose que G
est quasi-déployé. Rappelons que l’homomorphisme ξ : T → T
associé au diagramme fixé se déduit de l’homomorphisme
composé
X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ) → X
∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ) X ∗ (T
).
Posons ( ¯
B, ¯
T ) = (B ∩ G η , T ∩ G η ), complétons cette paire en une paire de Borel
épinglée de G η et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée σ → σ ¯
G sur
G η qui la conserve, cf. [I] 1.2. Elle est de la forme σ → σ ¯
G = ad ¯
u(σ) ◦σ G , où
¯
u(σ) ∈ G η,SC .On note ¯
G le groupe G η muni de cette action galoisienne quasidéployée. Complétons de même la paire de Borel (B, T ) de G en une paire de Borel
épinglée et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée sur G qui conserve
celle-ci. Elle est de la forme σ → σ G ∗ = ad u(σ) ◦σ G , où u(σ) ∈ G SC . On a σ ¯
G =
ad ¯
u(σ)u(σ) −1 ◦σ G ∗ . Puisque les deux actions intervenant ici conservent T , l’élément
¯
u(σ)u(σ)
−1 normalise T . Il s’envoie sur un élément du groupe de Weyl W que
l’on note ω ¯
G (σ). En utilisant le fait que ad η conserve (B, T ), on vérifie que ω ¯
G (σ)
est fixe par θ, cf. [I] 1.3(3). On peut identifier un tore maximal ˆ ¯
T du groupe ˆ ¯
G a
ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ), muni de l’action σ → ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ (en notant encore σ G ∗ l’action
sur le groupe ˆ
G).
Dans [79] 3.5, on a défini une donnée endoscopique de ¯
G SC associé à la donnée
G
et au diagramme (, B, T
, B, T, η). Notons-la ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s). Rappelons le
point clé de sa définition. Par la suite d’homomorphismes
ˆ
T → ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ) ˆ ¯
T → ˆ ¯
T ad = ˆ ¯
T /Z( ˆ ¯
G),
l’élément s s’envoie sur un élément ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad . Le groupe ˆ ¯
G
est la composante neutre
du commutant de ¯
s dans ˆ ¯
G AD . L’action galoisienne sur ˆ ¯
G
est composée de celle
sur ˆ ¯
G AD et d’un cocycle à valeurs dans ce groupe. On renvoie à [79] 3.5 pour une
description plus complète. Fixons une paire de Borel (B
, T
) de G
définie sur F
et un élément g
∈ G
,SC tel que ad g envoie cette paire sur (B
∩ M
, T
). Fixons
une paire de Borel ( ¯
B
, ¯
T
) de ¯
G
définie sur F . On note T
sc , resp. ¯
T
sc , l’image
réciproque de T
dans G
,SC , resp. l’image réciproque de ¯
T
dans ¯
G
SC . On a la
suite d’homomorphismes
¯
T
sc × Z( ¯
G
)
0
× Z( ¯
G)
0
→ ¯
T
× Z( ¯
G)
0 ,
¯
T
× Z( ¯
G)
0
→ ¯
T sc × Z( ¯
G)
0 ,
celui-ci provenant du fait que ¯
G
est une donnée endoscopique de ¯
G SC ,
¯
T sc × Z( ¯
G)
0
→ ¯
T ,
¯
T
ξ
→ T
ad
−1
g
→ T
,
et l’homomorphisme en sens inverse
T
← T
sc × Z(G
)
0 .
Chapitre III. Réductions et preuves
cf. [I] 1.10. Le terme η est un élément semi-simple de ˜
G(F ) et est un élément
semi-simple de ˜
G
(F ). On suppose que G
est quasi-déployé. Rappelons que l’homomorphisme ξ : T → T
associé au diagramme fixé se déduit de l’homomorphisme
composé
X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ) → X
∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ) X ∗ (T
).
Posons ( ¯
B, ¯
T ) = (B ∩ G η , T ∩ G η ), complétons cette paire en une paire de Borel
épinglée de G η et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée σ → σ ¯
G sur
G η qui la conserve, cf. [I] 1.2. Elle est de la forme σ → σ ¯
G = ad ¯
u(σ) ◦σ G , où
¯
u(σ) ∈ G η,SC .On note ¯
G le groupe G η muni de cette action galoisienne quasidéployée. Complétons de même la paire de Borel (B, T ) de G en une paire de Borel
épinglée et introduisons l’action galoisienne quasi-déployée sur G qui conserve
celle-ci. Elle est de la forme σ → σ G ∗ = ad u(σ) ◦σ G , où u(σ) ∈ G SC . On a σ ¯
G =
ad ¯
u(σ)u(σ) −1 ◦σ G ∗ . Puisque les deux actions intervenant ici conservent T , l’élément
¯
u(σ)u(σ)
−1 normalise T . Il s’envoie sur un élément du groupe de Weyl W que
l’on note ω ¯
G (σ). En utilisant le fait que ad η conserve (B, T ), on vérifie que ω ¯
G (σ)
est fixe par θ, cf. [I] 1.3(3). On peut identifier un tore maximal ˆ ¯
T du groupe ˆ ¯
G a
ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ), muni de l’action σ → ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ (en notant encore σ G ∗ l’action
sur le groupe ˆ
G).
Dans [79] 3.5, on a défini une donnée endoscopique de ¯
G SC associé à la donnée
G
et au diagramme (, B, T
, B, T, η). Notons-la ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s). Rappelons le
point clé de sa définition. Par la suite d’homomorphismes
ˆ
T → ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ) ˆ ¯
T → ˆ ¯
T ad = ˆ ¯
T /Z( ˆ ¯
G),
l’élément s s’envoie sur un élément ¯
s ∈ ˆ ¯
T ad . Le groupe ˆ ¯
G
est la composante neutre
du commutant de ¯
s dans ˆ ¯
G AD . L’action galoisienne sur ˆ ¯
G
est composée de celle
sur ˆ ¯
G AD et d’un cocycle à valeurs dans ce groupe. On renvoie à [79] 3.5 pour une
description plus complète. Fixons une paire de Borel (B
, T
) de G
définie sur F
et un élément g
∈ G
,SC tel que ad g envoie cette paire sur (B
∩ M
, T
). Fixons
une paire de Borel ( ¯
B
, ¯
T
) de ¯
G
définie sur F . On note T
sc , resp. ¯
T
sc , l’image
réciproque de T
dans G
,SC , resp. l’image réciproque de ¯
T
dans ¯
G
SC . On a la
suite d’homomorphismes
¯
T
sc × Z( ¯
G
)
0
× Z( ¯
G)
0
→ ¯
T
× Z( ¯
G)
0 ,
¯
T
× Z( ¯
G)
0
→ ¯
T sc × Z( ¯
G)
0 ,
celui-ci provenant du fait que ¯
G
est une donnée endoscopique de ¯
G SC ,
¯
T sc × Z( ¯
G)
0
→ ¯
T ,
¯
T
ξ
→ T
ad
−1
g
→ T
,
et l’homomorphisme en sens inverse
T
← T
sc × Z(G
)
0 .