III.5. Descente et endoscopie
363
Rappelons que l’on a défini en 4.1 une bijection de J
Gη
Mη (B O ) dans J
˜
G
˜
M
(B O ).
Pour simplifier, on identifie ces deux ensembles. L’hypothèse que J
˜
G
˜
M
(B O ) est non
vide implique automatiquement que A G = A Gη .
Proposition (à prouver). Soient
J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), δ
∈ D
st
unip (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗
et a ∈ A ˜
M (F )
en position générale et assez proche de 1. Posons δ = desc
st, ˜
M,∗
η
(δ
). On a l’égalité
σ
˜
G
J (δ, a) = e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ
, a)).
La démonstration sera donnée en 7.3.
III.4.4 Formule de descente pour les germes des intégrales orbitales
pondérées stables
On conserve les mêmes hypothèses. On suppose η elliptique dans ˜
M (F ).
Proposition (à prouver). Soit δ ∈ D
st
g´ eom,Gη -équi (M η (F ))⊗Mes(M η (F ))
∗ à support
assez proche de l’origine. Alors on a l’égalité
Sg
˜
G
˜
M,O
(desc
st, ˜
M,∗
η
(δ), B) =
e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
G,∗
η
(Sg
Gη
Mη,unip (δ, B η )), si A G = A Gη ,
0,
sinon.
La démonstration sera donnée en 8.6.
III.5 Descente et endoscopie
III.5.1 Descente de données endoscopiques
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique
elliptique et relevante.
D’après [I] paragraphe 3, on peut réaliser les objets duaux de la façon suivante. On fixe une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G. On note
ˆ
θ l’automorphisme dual de θ
∗ qui conserve cette paire. On modifie l’action galoisienne de sorte que ˆ
E soit stable par cette action. On suppose ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T .
On munit ˆ
G
d’une paire de Borel épinglée conservée par l’action galoisienne sur
ce groupe, dont la paire de Borel sous-jacente est ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Fixons un diagramme
(, B, T
, B, T, η)
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Rappelons que l’on a défini en 4.1 une bijection de J
Gη
Mη (B O ) dans J
˜
G
˜
M
(B O ).
Pour simplifier, on identifie ces deux ensembles. L’hypothèse que J
˜
G
˜
M
(B O ) est non
vide implique automatiquement que A G = A Gη .
Proposition (à prouver). Soient
J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), δ
∈ D
st
unip (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗
et a ∈ A ˜
M (F )
en position générale et assez proche de 1. Posons δ = desc
st, ˜
M,∗
η
(δ
). On a l’égalité
σ
˜
G
J (δ, a) = e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ
, a)).
La démonstration sera donnée en 7.3.
III.4.4 Formule de descente pour les germes des intégrales orbitales
pondérées stables
On conserve les mêmes hypothèses. On suppose η elliptique dans ˜
M (F ).
Proposition (à prouver). Soit δ ∈ D
st
g´ eom,Gη -équi (M η (F ))⊗Mes(M η (F ))
∗ à support
assez proche de l’origine. Alors on a l’égalité
Sg
˜
G
˜
M,O
(desc
st, ˜
M,∗
η
(δ), B) =
e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
G,∗
η
(Sg
Gη
Mη,unip (δ, B η )), si A G = A Gη ,
0,
sinon.
La démonstration sera donnée en 8.6.
III.5 Descente et endoscopie
III.5.1 Descente de données endoscopiques
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique
elliptique et relevante.
D’après [I] paragraphe 3, on peut réaliser les objets duaux de la façon suivante. On fixe une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G. On note
ˆ
θ l’automorphisme dual de θ
∗ qui conserve cette paire. On modifie l’action galoisienne de sorte que ˆ
E soit stable par cette action. On suppose ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T .
On munit ˆ
G
d’une paire de Borel épinglée conservée par l’action galoisienne sur
ce groupe, dont la paire de Borel sous-jacente est ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Fixons un diagramme
(, B, T
, B, T, η)