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Chapitre III. Réductions et preuves
de raison pour que ces termes soient égaux. Mais il n’intervient que des x unipotents, pour lesquels t = 1 et les termes coïncident, et des x qui sont G η -
équisinguliers pour lesquels les termes coïncident aussi car les deux ensembles
de racines sont vides.
III.4.3 Formule de descente pour les termes σ J
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de
fonctions comme en [II] 1.9, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et η un élément semi-simple
de ˜
M (F ). On note O la classe de conjugaison stable de η dans ˜
M (F ) et O
˜
G sa
classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ).
La descente d’Harish-Chandra s’adapte aux distributions stables, cf. [I] 4.8.
Pour définir correctement les applications de descente, il faudrait introduire comme
en 4.1 un voisinage convenable U η de l’origine dans G η (F ). Pour simplifier la
notation, on considère comme dans ce paragraphe que l’on a des applications
transposées
desc
st, ˜
G
η
: SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SI(G η (F )) ⊗ Mes(G η (F )),
desc
st, ˜
G,∗
η
: D
st
g´ eom (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D
st
g´ eom (G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Mais, pour f ∈ SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), les intégrales orbitales stables de
desc
st, ˜
G
η
(f ) n’ont de sens que que dans un voisinage de l’origine. De même, pour
δ ∈ D
st
g´ eom (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ , desc
st, ˜
G,∗
η
(δ) n’est défini que si le support de δ
est assez voisin de l’origine. En particulier, desc
st, ˜
G,∗
η
se restreint en une surjection
de D
st
unip (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ sur D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Attention. Le diagramme
I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
desc
˜
G
η
→
I(G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
↓
↓
SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
desc
st, ˜
G
η
→
SI(G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
n’est pas commutatif, cf. [I] 5.10.
On suppose η elliptique dans ˜
M (F ). Le groupe dual ˆ
M η s’identifie à un sousgroupe de ˆ
M . Dualement, l’ellipticité de η entraîne que Z( ˆ
M )
ΓF est un sousgroupe d’indice fini de Z( ˆ
M η )
ΓF . Dans le cas où A G = A Gη , le groupe Z( ˆ
G)
ΓF est
aussi un sous-groupe d’indice fini de Z( ˆ
G η )
ΓF . L’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M η )
ΓF /Z( ˆ
G η )
ΓF
est surjectif et son noyau est fini. On note e
˜
G
˜
M
(η) l’inverse du nombre d’éléments
de ce noyau.
Chapitre III. Réductions et preuves
de raison pour que ces termes soient égaux. Mais il n’intervient que des x unipotents, pour lesquels t = 1 et les termes coïncident, et des x qui sont G η -
équisinguliers pour lesquels les termes coïncident aussi car les deux ensembles
de racines sont vides.
III.4.3 Formule de descente pour les termes σ J
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de
fonctions comme en [II] 1.9, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et η un élément semi-simple
de ˜
M (F ). On note O la classe de conjugaison stable de η dans ˜
M (F ) et O
˜
G sa
classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ).
La descente d’Harish-Chandra s’adapte aux distributions stables, cf. [I] 4.8.
Pour définir correctement les applications de descente, il faudrait introduire comme
en 4.1 un voisinage convenable U η de l’origine dans G η (F ). Pour simplifier la
notation, on considère comme dans ce paragraphe que l’on a des applications
transposées
desc
st, ˜
G
η
: SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SI(G η (F )) ⊗ Mes(G η (F )),
desc
st, ˜
G,∗
η
: D
st
g´ eom (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D
st
g´ eom (G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Mais, pour f ∈ SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), les intégrales orbitales stables de
desc
st, ˜
G
η
(f ) n’ont de sens que que dans un voisinage de l’origine. De même, pour
δ ∈ D
st
g´ eom (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ , desc
st, ˜
G,∗
η
(δ) n’est défini que si le support de δ
est assez voisin de l’origine. En particulier, desc
st, ˜
G,∗
η
se restreint en une surjection
de D
st
unip (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ sur D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Attention. Le diagramme
I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
desc
˜
G
η
→
I(G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
↓
↓
SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
desc
st, ˜
G
η
→
SI(G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
n’est pas commutatif, cf. [I] 5.10.
On suppose η elliptique dans ˜
M (F ). Le groupe dual ˆ
M η s’identifie à un sousgroupe de ˆ
M . Dualement, l’ellipticité de η entraîne que Z( ˆ
M )
ΓF est un sousgroupe d’indice fini de Z( ˆ
M η )
ΓF . Dans le cas où A G = A Gη , le groupe Z( ˆ
G)
ΓF est
aussi un sous-groupe d’indice fini de Z( ˆ
G η )
ΓF . L’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M η )
ΓF /Z( ˆ
G η )
ΓF
est surjectif et son noyau est fini. On note e
˜
G
˜
M
(η) l’inverse du nombre d’éléments
de ce noyau.