III.4. Germes et descente d’Harish-Chandra
361
III.4.2 Descente des germes d’intégrales orbitales pondérées
On conserve les mêmes données. On suppose toujours que η est elliptique dans ˜
M .
Proposition. On a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
◦ desc
˜
M,∗
η
=
desc
˜
G,∗
η
◦g
Gη
Mη,unip , si A ˜
G = A Gη ,
0,
sinon .
Les deux termes sont des germes d’applications linéaires définies sur
D g´ eom,Gη -équi (M η (F ), ω)
au voisinage de l’élément neutre de M η (F ). L’assertion n’est qu’une reformulation
du lemme 9.2 de [9]. Un examen de la preuve de ce lemme montre que l’hypothèse
de régularité figurant dans l’énoncé d’Arthur ne sert pas. D’autre part, on a modifié
les définitions d’Arthur en [II] 1.5 et on doit montrer que cela n’influe pas sur la
preuve. On se rend compte qu’il suffit de prouver que le lemme 8.2 de [9] reste vrai
avec notre définition des fonctions r
˜
G
˜
M
(γ, a). Précisément, soit x ∈ M η (F ) assez
proche de 1. Soit ˜
P ∈ P( ˜
M ). Posons P η = P ∩ G η . On doit montrer que, pour
λ ∈ iA
∗
˜
M
et pour a ∈ A ˜
M (F ) A Mη (F ) en position générale et assez proche de
1, on a l’égalité
(1)
r ˜
P (xη, a; λ) = r Pη (x, a; λ).
Cela résulte de notre définition : si on note t la partie semi-simple de x et u
sa partie unipotente, les deux fonctions se définissent à l’aide des mêmes termes
ρ
Gtη (β, u), pour β ∈ Σ
Gtη (A Mη ).
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en [II] 1.9. On a
(2) soit γ ∈ D g´ eom,Gη -équi (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗ assez proche de l’origine ;
alors on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
(desc
˜
M,∗
η
(γ), B) =
desc
˜
G,∗
η (g
Gη
Mη,unip (γ, B η )), si A ˜
G = A Gη ,
0,
sinon.
La preuve est la même. Il y a toutefois une subtilité. Il ne doit intervenir dans
la preuve que des éléments xη, avec x ∈ M η (F ), pour lesquels on a l’analogue de
(1), à savoir
(2)
r ˜
P (xη, a, B; λ) = r Pη (x, a, B η ; λ).
Avec les notations plus haut, la fonction de gauche est définie à l’aide des termes
ρ
Gtη (β, u) pour β ∈ Σ
Gtη (A Mη , B tη ) tandis que celle de droite est définie à l’aide
des termes ρ
Gtη (β, u) pour β ∈ Σ
Gtη (A Mη , B η ). Pour x quelconque, il n’y a guère
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III.4.2 Descente des germes d’intégrales orbitales pondérées
On conserve les mêmes données. On suppose toujours que η est elliptique dans ˜
M .
Proposition. On a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
◦ desc
˜
M,∗
η
=
desc
˜
G,∗
η
◦g
Gη
Mη,unip , si A ˜
G = A Gη ,
0,
sinon .
Les deux termes sont des germes d’applications linéaires définies sur
D g´ eom,Gη -équi (M η (F ), ω)
au voisinage de l’élément neutre de M η (F ). L’assertion n’est qu’une reformulation
du lemme 9.2 de [9]. Un examen de la preuve de ce lemme montre que l’hypothèse
de régularité figurant dans l’énoncé d’Arthur ne sert pas. D’autre part, on a modifié
les définitions d’Arthur en [II] 1.5 et on doit montrer que cela n’influe pas sur la
preuve. On se rend compte qu’il suffit de prouver que le lemme 8.2 de [9] reste vrai
avec notre définition des fonctions r
˜
G
˜
M
(γ, a). Précisément, soit x ∈ M η (F ) assez
proche de 1. Soit ˜
P ∈ P( ˜
M ). Posons P η = P ∩ G η . On doit montrer que, pour
λ ∈ iA
∗
˜
M
et pour a ∈ A ˜
M (F ) A Mη (F ) en position générale et assez proche de
1, on a l’égalité
(1)
r ˜
P (xη, a; λ) = r Pη (x, a; λ).
Cela résulte de notre définition : si on note t la partie semi-simple de x et u
sa partie unipotente, les deux fonctions se définissent à l’aide des mêmes termes
ρ
Gtη (β, u), pour β ∈ Σ
Gtη (A Mη ).
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en [II] 1.9. On a
(2) soit γ ∈ D g´ eom,Gη -équi (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗ assez proche de l’origine ;
alors on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
(desc
˜
M,∗
η
(γ), B) =
desc
˜
G,∗
η (g
Gη
Mη,unip (γ, B η )), si A ˜
G = A Gη ,
0,
sinon.
La preuve est la même. Il y a toutefois une subtilité. Il ne doit intervenir dans
la preuve que des éléments xη, avec x ∈ M η (F ), pour lesquels on a l’analogue de
(1), à savoir
(2)
r ˜
P (xη, a, B; λ) = r Pη (x, a, B η ; λ).
Avec les notations plus haut, la fonction de gauche est définie à l’aide des termes
ρ
Gtη (β, u) pour β ∈ Σ
Gtη (A Mη , B tη ) tandis que celle de droite est définie à l’aide
des termes ρ
Gtη (β, u) pour β ∈ Σ
Gtη (A Mη , B η ). Pour x quelconque, il n’y a guère