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Chapitre III. Réductions et preuves
Considérons α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J. Pour tout i = 1, . . . , n, fixons une «coracine»
ˇ
α i que nous normalisons par la condition α i , ˇ
α i = 1 (sic !). Notons m le volume
du quotient de A
˜
G
˜
M
par le Z-module engendré par ces ˇ
α i , pour i = 1, . . . , n. Le
terme ρ
˜
G (α i , uη) défini en [II] 1.5 est proportionnel à ˇ
α i . Il résulte des définitions
que
m(α, uη) sgn(α, uη) = m
i=1,...,n
α i , ρ
˜
G (α i , uη)
.
Soit i ∈ {1, . . . , n}. Parce que A ˜
M = A Mη , la définition [II] 1.5 entraîne que
ρ
˜
G (α i , uη) = 0 si α i ne provient pas de Σ
Gη
Mη (A Mη ), tandis que
ρ
˜
G (α i , uη) = ρ
Gη (α
i , u)
si α i est l’image de α
i ∈ Σ
Gη
Mη (A Mη ). Si A ˜
G = A Gη ou si A ˜
G = A Gη mais J ne
provient pas de J
Gη
Mη , il n’y a aucun élément α ∈ J qui vérifie cette condition pour
tout i et on obtient ρ
˜
G
J (γ, a) = 0. Supposons désormais que A ˜
G = A Gη et que J
est l’image de J
∈ J
Gη
Mη . Les α qui contribuent à (1) sont exactement les images
d’éléments α
∈ J
. Si α provient de α
, les formules ci-dessus montrent que
m(α, uη) sgn(α, uη) = m(α
, u) sgn(α
, u).
On a aussi u α (a) = u α (a). On obtient
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α ∈J
m(α
, u) sgn(α
, u)u α (a)γ.
On a une formule analogue à (1) :
ρ
Gη
J (γ
, a) =
α ∈J
m(α
, u) sgn(α
, u)u α (a)γ
.
Puisque γ = desc
˜
M,∗
η
(γ
), on en déduit
ρ
˜
G
J (γ, a) = desc
˜
M,∗
η
(ρ
Gη
J (γ
, a)),
ce qui prouve le lemme.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en [II] 1.9. Ce système détermine une fonction
B η sur le système de racines de G η , que l’on notera B O pour simplifier. Ainsi
on dispose des ensembles J
˜
G
˜
M
(B O ) et J
Gη
Mη (B O ). On a une proposition similaire
relative à ces ensembles. En fait, sa conclusion se simplifie car, avec la définition
que l’on a donnée de l’ensemble J
˜
G
˜
M
(B O ), l’injection J
Gη
Mη (B O ) → J
˜
G
˜
M
(B O ) est
bijective. L’existence d’un J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ) entraîne donc que A ˜
G = A Gη et que J
provient d’un J
∈ J
Gη
Mη (B O ).
Chapitre III. Réductions et preuves
Considérons α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J. Pour tout i = 1, . . . , n, fixons une «coracine»
ˇ
α i que nous normalisons par la condition α i , ˇ
α i = 1 (sic !). Notons m le volume
du quotient de A
˜
G
˜
M
par le Z-module engendré par ces ˇ
α i , pour i = 1, . . . , n. Le
terme ρ
˜
G (α i , uη) défini en [II] 1.5 est proportionnel à ˇ
α i . Il résulte des définitions
que
m(α, uη) sgn(α, uη) = m
i=1,...,n
α i , ρ
˜
G (α i , uη)
.
Soit i ∈ {1, . . . , n}. Parce que A ˜
M = A Mη , la définition [II] 1.5 entraîne que
ρ
˜
G (α i , uη) = 0 si α i ne provient pas de Σ
Gη
Mη (A Mη ), tandis que
ρ
˜
G (α i , uη) = ρ
Gη (α
i , u)
si α i est l’image de α
i ∈ Σ
Gη
Mη (A Mη ). Si A ˜
G = A Gη ou si A ˜
G = A Gη mais J ne
provient pas de J
Gη
Mη , il n’y a aucun élément α ∈ J qui vérifie cette condition pour
tout i et on obtient ρ
˜
G
J (γ, a) = 0. Supposons désormais que A ˜
G = A Gη et que J
est l’image de J
∈ J
Gη
Mη . Les α qui contribuent à (1) sont exactement les images
d’éléments α
∈ J
. Si α provient de α
, les formules ci-dessus montrent que
m(α, uη) sgn(α, uη) = m(α
, u) sgn(α
, u).
On a aussi u α (a) = u α (a). On obtient
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α ∈J
m(α
, u) sgn(α
, u)u α (a)γ.
On a une formule analogue à (1) :
ρ
Gη
J (γ
, a) =
α ∈J
m(α
, u) sgn(α
, u)u α (a)γ
.
Puisque γ = desc
˜
M,∗
η
(γ
), on en déduit
ρ
˜
G
J (γ, a) = desc
˜
M,∗
η
(ρ
Gη
J (γ
, a)),
ce qui prouve le lemme.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en [II] 1.9. Ce système détermine une fonction
B η sur le système de racines de G η , que l’on notera B O pour simplifier. Ainsi
on dispose des ensembles J
˜
G
˜
M
(B O ) et J
Gη
Mη (B O ). On a une proposition similaire
relative à ces ensembles. En fait, sa conclusion se simplifie car, avec la définition
que l’on a donnée de l’ensemble J
˜
G
˜
M
(B O ), l’injection J
Gη
Mη (B O ) → J
˜
G
˜
M
(B O ) est
bijective. L’existence d’un J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ) entraîne donc que A ˜
G = A Gη et que J
provient d’un J
∈ J
Gη
Mη (B O ).