III.4. Germes et descente d’Harish-Chandra
359
Alors desc
˜
G,∗
η
envoie l’élément de D g´ eom (U η , ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ défini par (x, dh)
sur l’élément de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ défini par (xη, dh). Pour simplifier
les notations, on oubliera le voisinage U η et on notera
desc
˜
G
η : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I(G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
et
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗
les applications ci-dessus. On considérera toutefois que, pour f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), les intégrales orbitales de desc
˜
G
η (f ) n’ont un sens que dans un voisinage
de l’origine et que, de même, pour γ ∈ D g´ eom (G η (F ), ω), desc
˜
G,∗
η (γ) n’est défini
que si le support de γ est assez voisin de l’origine.
On note O la classe de conjugaison de η dans ˜
M (F ) et O
˜
G sa classe de
conjugaison dans ˜
G(F ). Rappelons que l’on note D g´ eom (O
˜
G , ω) le sous-espace
de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) engendré par les intégrales orbitales associées à des éléments
γ ∈ ˜
G(F ) dont les parties semi-simples appartiennent à O
˜
G .
Il est clair que desc
˜
G,∗
η
envoie D unip (G η (F ), ω)⊗Mes(G η (F ))
∗ dans (et même
sur) D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
On suppose η elliptique dans ˜
M (F ), c’est-à-dire A ˜
M = A Mη . De cette égalité
se déduit une injection Σ
Gη (A Mη ) → Σ
G (A ˜
M ). Rappelons que les ensembles
J
Gη
Mη , resp. J
˜
G
˜
M
, sont des classes d’équivalence d’ensembles {α 1 , . . . , α n } formés
d’éléments linéairement indépendants de Σ
Gη (A Mη ), resp. Σ
G (A ˜
M ), tels que n =
a Mη − a Gη , resp. n = a ˜
M − a ˜
G . Deux ensembles sont équivalents s’ils engendrent le
même Z-module. L’égalité A ˜
M = A Mη équivaut à a Mη = a ˜
M . Si A ˜
G = A Gη , il n’y
a pas de correspondance entre les ensembles J
Gη
Mη , resp. J
˜
G
˜
M
et J
˜
G
˜
M
. Mais, si l’on
suppose A ˜
G = A Gη , de l’injection précédente se déduit une injection J
Gη
Mη → J
˜
G
˜
M
que l’on note J
→ J. Pour de tels J
→ J, l’espace U J associé à J
est égal à
l’espace U J associé à J.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
, γ
∈ D unip (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F ) en
position générale et assez proche de 1. Posons γ = desc
˜
M,∗
η
(γ
). On a l’égalité
ρ
˜
G
J (γ, a) =
desc
˜
M,∗
η
(ρ
Gη
J (γ
, a)), si A ˜
G = A Gη et J provient de J
∈ J
Gη
Mη ,
0,
sinon.
Preuve. Par linéarité, on peut supposer que γ
est une intégrale orbitale associée
à un élément unipotent u ∈ M η (F ). Alors γ est une intégrale orbitale associée à
l’élément uη ∈ ˜
M (F ). On applique la formule de définition [II] 3.2(5) :
(1)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α∈J
m(α, uη) sgn(α, uη)u α (a)γ.
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Alors desc
˜
G,∗
η
envoie l’élément de D g´ eom (U η , ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ défini par (x, dh)
sur l’élément de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ défini par (xη, dh). Pour simplifier
les notations, on oubliera le voisinage U η et on notera
desc
˜
G
η : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I(G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
et
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗
les applications ci-dessus. On considérera toutefois que, pour f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), les intégrales orbitales de desc
˜
G
η (f ) n’ont un sens que dans un voisinage
de l’origine et que, de même, pour γ ∈ D g´ eom (G η (F ), ω), desc
˜
G,∗
η (γ) n’est défini
que si le support de γ est assez voisin de l’origine.
On note O la classe de conjugaison de η dans ˜
M (F ) et O
˜
G sa classe de
conjugaison dans ˜
G(F ). Rappelons que l’on note D g´ eom (O
˜
G , ω) le sous-espace
de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) engendré par les intégrales orbitales associées à des éléments
γ ∈ ˜
G(F ) dont les parties semi-simples appartiennent à O
˜
G .
Il est clair que desc
˜
G,∗
η
envoie D unip (G η (F ), ω)⊗Mes(G η (F ))
∗ dans (et même
sur) D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
On suppose η elliptique dans ˜
M (F ), c’est-à-dire A ˜
M = A Mη . De cette égalité
se déduit une injection Σ
Gη (A Mη ) → Σ
G (A ˜
M ). Rappelons que les ensembles
J
Gη
Mη , resp. J
˜
G
˜
M
, sont des classes d’équivalence d’ensembles {α 1 , . . . , α n } formés
d’éléments linéairement indépendants de Σ
Gη (A Mη ), resp. Σ
G (A ˜
M ), tels que n =
a Mη − a Gη , resp. n = a ˜
M − a ˜
G . Deux ensembles sont équivalents s’ils engendrent le
même Z-module. L’égalité A ˜
M = A Mη équivaut à a Mη = a ˜
M . Si A ˜
G = A Gη , il n’y
a pas de correspondance entre les ensembles J
Gη
Mη , resp. J
˜
G
˜
M
et J
˜
G
˜
M
. Mais, si l’on
suppose A ˜
G = A Gη , de l’injection précédente se déduit une injection J
Gη
Mη → J
˜
G
˜
M
que l’on note J
→ J. Pour de tels J
→ J, l’espace U J associé à J
est égal à
l’espace U J associé à J.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
, γ
∈ D unip (M η (F ), ω) ⊗ Mes(M η (F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F ) en
position générale et assez proche de 1. Posons γ = desc
˜
M,∗
η
(γ
). On a l’égalité
ρ
˜
G
J (γ, a) =
desc
˜
M,∗
η
(ρ
Gη
J (γ
, a)), si A ˜
G = A Gη et J provient de J
∈ J
Gη
Mη ,
0,
sinon.
Preuve. Par linéarité, on peut supposer que γ
est une intégrale orbitale associée
à un élément unipotent u ∈ M η (F ). Alors γ est une intégrale orbitale associée à
l’élément uη ∈ ˜
M (F ). On applique la formule de définition [II] 3.2(5) :
(1)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α∈J
m(α, uη) sgn(α, uη)u α (a)γ.