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Chapitre III. Réductions et preuves
Comme ci-dessus, on a
transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ (s), B)) = transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ , B)).
Les mêmes calculs que dans la preuve précédente transforment (5) en
g
G
M,unip (δ , B) −
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
i M (G , G
(s)) transfert(Sg
G
횿 (s)
M,unip (δ , B)).
Ou encore, par une formule similaire à (1), en Sg
G
M,unip (δ , B). On a ainsi obtenu
l’égalité
Sg
G
M,unip (δ, B) = ι
∗
G,G (Sg
G
M,unip (δ , B)).
C’est ce qu’affirme le (i) de l’énoncé. L’assertion (ii) s’en déduit comme en 3.4.
III.4 Germes et descente d’Harish-Chandra
III.4.1 Formule de descente pour les termes ρ
˜
G
J
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G
et η un élément semi-simple de ˜
M (F ). Il y a une application naturelle Z( ˆ
G) →
Z( ˆ
G η ), équivariante pour les actions galoisiennes. La classe de cocycle a détermine
par composition avec cette application une classe dans H
1 (Γ F ; Z( ˆ
G η )), que nous
noterons encore a pour simplifier. Le caractère de G η (F ) qui s’en déduit est la
restriction à ce groupe du caractère ω de G(F ) déduit du a initial. En considérant
G η comme un espace tordu sur lui-même, le triplet (G η , G η , a) vérifie les mêmes
hypothèses que notre triplet initial mais est «sans torsion».
Considérons un voisinage ouvert U η de l’origine dans G η (F ) qui est invariant
par l’action de Z G (η; F ), qui est tel que, pour x ∈ G η (F ), x appartient à U η si et
seulement si la partie semi-simple de x appartient à U η et qui est «assez petit».
La descente d’Harish-Chandra fournit des applications transposées
desc
˜
G
η : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I(U η , ω) ⊗ Mes(G η (F )),
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (U η , ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Rappelons que la donnée d’un élément x ∈ U η et d’une mesure dh sur (G η ) x (F )
définit un élément x ∈ D g´ eom (U η , ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ . C’est l’intégrale orbitale qui,
à f ∈ C
∞
c (U η ) et à une mesure dg sur G η (F ), associe l’intégrale
I
Gη (x, ω, f ⊗ dg) = D
Gη (x)
1/2
(Gη)x(F )\Gη(F )
f (y
−1 xy)ω(y) dy,
où dy est déduite de dg et dh. Si x est assez proche de 1, on a (G η ) x = G xη et
le couple (xη, dh) définit de même un élément de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Chapitre III. Réductions et preuves
Comme ci-dessus, on a
transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ (s), B)) = transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ , B)).
Les mêmes calculs que dans la preuve précédente transforment (5) en
g
G
M,unip (δ , B) −
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
i M (G , G
(s)) transfert(Sg
G
횿 (s)
M,unip (δ , B)).
Ou encore, par une formule similaire à (1), en Sg
G
M,unip (δ , B). On a ainsi obtenu
l’égalité
Sg
G
M,unip (δ, B) = ι
∗
G,G (Sg
G
M,unip (δ , B)).
C’est ce qu’affirme le (i) de l’énoncé. L’assertion (ii) s’en déduit comme en 3.4.
III.4 Germes et descente d’Harish-Chandra
III.4.1 Formule de descente pour les termes ρ
˜
G
J
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G
et η un élément semi-simple de ˜
M (F ). Il y a une application naturelle Z( ˆ
G) →
Z( ˆ
G η ), équivariante pour les actions galoisiennes. La classe de cocycle a détermine
par composition avec cette application une classe dans H
1 (Γ F ; Z( ˆ
G η )), que nous
noterons encore a pour simplifier. Le caractère de G η (F ) qui s’en déduit est la
restriction à ce groupe du caractère ω de G(F ) déduit du a initial. En considérant
G η comme un espace tordu sur lui-même, le triplet (G η , G η , a) vérifie les mêmes
hypothèses que notre triplet initial mais est «sans torsion».
Considérons un voisinage ouvert U η de l’origine dans G η (F ) qui est invariant
par l’action de Z G (η; F ), qui est tel que, pour x ∈ G η (F ), x appartient à U η si et
seulement si la partie semi-simple de x appartient à U η et qui est «assez petit».
La descente d’Harish-Chandra fournit des applications transposées
desc
˜
G
η : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I(U η , ω) ⊗ Mes(G η (F )),
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (U η , ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Rappelons que la donnée d’un élément x ∈ U η et d’une mesure dh sur (G η ) x (F )
définit un élément x ∈ D g´ eom (U η , ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ . C’est l’intégrale orbitale qui,
à f ∈ C
∞
c (U η ) et à une mesure dg sur G η (F ), associe l’intégrale
I
Gη (x, ω, f ⊗ dg) = D
Gη (x)
1/2
(Gη)x(F )\Gη(F )
f (y
−1 xy)ω(y) dy,
où dy est déduite de dg et dh. Si x est assez proche de 1, on a (G η ) x = G xη et
le couple (xη, dh) définit de même un élément de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .