III.3. Passage à un revêtement
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des mesures sur T (F ), T
(F ), G (F ) et G
(s)(F ). Toutes ces mesures permettent
de définir les intégrales orbitales qui interviennent ci-dessous. En particulier, on
a une intégrale orbitale stable S
G
(s) (t
, .). Le lemme 3.5 montre que son image
par ι
∗
G
(s),G (s) est S
G
(s) (t
, .). Utilisons les notations introduites dans la preuve
du lemme 3.5 pour les éléments t et t. L’image par transfert de S
G
(s) (t
, .) est
(5)
x∈ ˙
X
Δ(s)(t
, x)I
G (x, ω, .).
D’autre part, l’image par transfert de S
G
(s) (t
, .) est
x∈ ˙
X
Δ (s)(t
, x )I
G (x , .),
ou encore
x∈ ˙
X
x∈ ˙
Xx
Δ (s)(t
, x )I
G (x , .).
En utilisant le lemme 3.1, l’image de cette expression par ι
∗
G,G est
x∈ ˙
X
x∈ ˙
Xx
Δ (s)(t
, x )c
−1
T q(x )
I
G (q(x ), ω, .).
Pour x intervenant ci-dessus, on a Δ (s)(t
, x ) = Δ(s)(t, q(x )) par définition.
Puisque la fonction
y → Δ(s)(t, y)c
−1
Ty I
G (y, ω, .)
est invariante par conjugaison et puisque q(x ) est conjugué à x, on peut remplacer
q(x ) par x dans l’expression ci-dessus. On obtient
x∈ ˙
X
c
−1
Tx | ˙
X x |Δ(s)(t, x)I
G (x, ω, .).
On a vu dans la preuve du lemme 3.5 que c Tx = | ˙
X x |. Alors l’expression ci-dessus
devient (5). Cela prouve l’égalité (4) sur les distributions stables à support assez régulier. Elle se généralise sans hypothèse de support par bidualité. En effet,
puisque le transfert d’une fonction est déterminé par ses intégrales orbitales stables
assez régulières, cela implique que la relation duale à (4) vaut pour les fonctions.
Par dualité, cela entraîne l’assertion (4) sans restriction sur le support des distributions. Cela prouve (4).
En utilisant (3), (4) et la proposition 3.4, on transforme l’expression (1) sous
la forme suivante. Le terme Sg M,unip (δ, B) est l’image par ι
∗
G,G de
(5)
g
G
M,unip (δ , B)
−
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
i M (G, G
(s)) transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ (s), B)).