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Chapitre III. Réductions et preuves
Remarque. Ce facteur n’est pas tout-à-fait l’image réciproque de Δ(s). A cause du
noyau Ξ, il y a des couples (δ, γ) d’éléments qui ne se correspondent pas mais pour
lesquels q s (δ) et q(γ) se correspondent. Pour un tel couple, on a Δ(s)(q s (δ), q(γ)) =
0 mais Δ (s)(δ, γ) = 0.
L’élément δ appartient au départ à l’espace D
st
g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Dans la formule (1), on l’a identifié à un élément de D
st
g´ eom (M) ⊗ Mes(M (F ))
∗ en
utilisant pour la donnée M les données auxiliaires «triviales». Une fois fixé s, on
utilise les données auxiliaires pour M déduites par restriction des données auxiliaires pour G
(s). Alors δ s’identifie de nouveau à un élément de D
st
g´ eom (M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , qui n’est pas en général l’élément de départ et que l’on note δ(s).
De la même façon, l’élément δ détermine un élément δ (s) ∈ D
st
g´ eom (M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ . Montrons que
(2) ι
∗
M,M (δ (s)) = δ(s).
Pour m ∈ M (F ) assez régulier, on a une égalité Δ(s)(m, m) = cχ(m), où c
est une constante non nulle et χ est le caractère de M (F ) déduit de χ ( à moins
que ce ne soit l’inverse, peu importe). Par construction, δ(s) se déduit de δ par un
automorphisme de D
st
g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Celui-ci envoie l’intégrale orbitale stable associée à un élément m ∈ M (F ) assez régulier sur la même intégrale
orbitale stable, multipliée par cχ(m). Le caractère χ est localement constant. Il
vaut 1 sur les éléments assez voisins de l’origine. Restreint aux éléments à support
proche de l’origine, l’automorphisme est donc l’homothétie de rapport c. D’où
δ(s) = cδ. D’après la définition de Δ (s), on a de même δ (s) = cδ avec la même
constante c. L’assertion (2) s’ensuit.
Par définition, on a l’égalité
Sg
G
(s)
M,unip (δ, B) = Sg
G
(s)
M,unip (δ(s), B).
Puisque s = 1, on peut appliquer le présent énoncé par récurrence. Grâce à (2),
on obtient
(3)
Sg
G
(s)
M,unip (δ, B) = ι
∗
G
(s),G (s) (Sg
G
(s)
M,unip (δ (s), B)).
Montrons que
(4) on a l’égalité transfert ◦ι
∗
G
(s),G (s) = ι
∗
G,G ◦ transfert.
Rappelons que nos applications ι
∗
G
(s),G (s) et ι
∗
G,G sont définies au voisinage
de l’unité. Considérons d’abord un élément t
∈ G
(s; F ) semi-simple assez régulier
et proche de 1. Soit t ∈ G (F ) un élément qui lui correspond. On note T
et T
leurs commutants dans G
(s) et G . On note t
= q s (t
) et t = q(t ) les images
de t
et t dans G
(s; F ) et G(F ). On note T
et T les commutants de t
et t dans
G
(s) et G. Les tores T
et T sont isomorphes, ainsi que les tores T
et T . Fixons
une mesure de Haar sur T (F ) que l’on transporte en une mesure sur T
(F ). On
fixe aussi des mesures de Haar sur G(F ) et G
(s; F ). On en déduit comme en 3.1
Chapitre III. Réductions et preuves
Remarque. Ce facteur n’est pas tout-à-fait l’image réciproque de Δ(s). A cause du
noyau Ξ, il y a des couples (δ, γ) d’éléments qui ne se correspondent pas mais pour
lesquels q s (δ) et q(γ) se correspondent. Pour un tel couple, on a Δ(s)(q s (δ), q(γ)) =
0 mais Δ (s)(δ, γ) = 0.
L’élément δ appartient au départ à l’espace D
st
g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Dans la formule (1), on l’a identifié à un élément de D
st
g´ eom (M) ⊗ Mes(M (F ))
∗ en
utilisant pour la donnée M les données auxiliaires «triviales». Une fois fixé s, on
utilise les données auxiliaires pour M déduites par restriction des données auxiliaires pour G
(s). Alors δ s’identifie de nouveau à un élément de D
st
g´ eom (M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , qui n’est pas en général l’élément de départ et que l’on note δ(s).
De la même façon, l’élément δ détermine un élément δ (s) ∈ D
st
g´ eom (M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ . Montrons que
(2) ι
∗
M,M (δ (s)) = δ(s).
Pour m ∈ M (F ) assez régulier, on a une égalité Δ(s)(m, m) = cχ(m), où c
est une constante non nulle et χ est le caractère de M (F ) déduit de χ ( à moins
que ce ne soit l’inverse, peu importe). Par construction, δ(s) se déduit de δ par un
automorphisme de D
st
g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Celui-ci envoie l’intégrale orbitale stable associée à un élément m ∈ M (F ) assez régulier sur la même intégrale
orbitale stable, multipliée par cχ(m). Le caractère χ est localement constant. Il
vaut 1 sur les éléments assez voisins de l’origine. Restreint aux éléments à support
proche de l’origine, l’automorphisme est donc l’homothétie de rapport c. D’où
δ(s) = cδ. D’après la définition de Δ (s), on a de même δ (s) = cδ avec la même
constante c. L’assertion (2) s’ensuit.
Par définition, on a l’égalité
Sg
G
(s)
M,unip (δ, B) = Sg
G
(s)
M,unip (δ(s), B).
Puisque s = 1, on peut appliquer le présent énoncé par récurrence. Grâce à (2),
on obtient
(3)
Sg
G
(s)
M,unip (δ, B) = ι
∗
G
(s),G (s) (Sg
G
(s)
M,unip (δ (s), B)).
Montrons que
(4) on a l’égalité transfert ◦ι
∗
G
(s),G (s) = ι
∗
G,G ◦ transfert.
Rappelons que nos applications ι
∗
G
(s),G (s) et ι
∗
G,G sont définies au voisinage
de l’unité. Considérons d’abord un élément t
∈ G
(s; F ) semi-simple assez régulier
et proche de 1. Soit t ∈ G (F ) un élément qui lui correspond. On note T
et T
leurs commutants dans G
(s) et G . On note t
= q s (t
) et t = q(t ) les images
de t
et t dans G
(s; F ) et G(F ). On note T
et T les commutants de t
et t dans
G
(s) et G. Les tores T
et T sont isomorphes, ainsi que les tores T
et T . Fixons
une mesure de Haar sur T (F ) que l’on transporte en une mesure sur T
(F ). On
fixe aussi des mesures de Haar sur G(F ) et G
(s; F ). On en déduit comme en 3.1