III.3. Passage à un revêtement
355
Il est clair que J ∈ J
G
(s)
M
(B) si et seulement si J ∈ J
G
(s)
M
(B). Les considérations
qui précèdent transforment l’expression ci-dessus en
ρ
G
J (δ , a ) −
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1,J∈J
G
(s)
M
(B)
i M (G , G
(s))σ
G
(s)
J
(δ , a )
ce qui n’est autre que σ
G
J (δ , a ). Cela prouve X = 0 et le lemme.
III.3.7 Revêtement et germes stables
On conserve les mêmes hypothèses. Soit M un Levi de G.
Proposition.
(i) Pour δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez voisin de l’origine,
on a l’égalité
Sg
G
M,unip (ι
∗
M,M (δ ), B) = ι
∗
G,G (Sg
G
M,unip (δ , B)).
(ii) Pour δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez voisin de l’origine, on a
l’égalité
Sg
G
M,unip (δ, B) = Sg
G
M,unip (δ
, B),
où δ
= ι
∗
M,M ◦ ι
∗
M,M (δ).
Preuve. Posons δ = ι
∗
M,M (δ ). On utilise la définition de [II] 2.4(1) :
(1)
Sg
G
M,unip (δ, B) = g
G
M,unip (δ, B) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i M (G, G
(s))
transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ, B)).
Fixons s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF avec s = 1. Comme on l’a dit dans la preuve précédente, on a à la fois une donnée endoscopique G
(s) de G et une donnée endoscopique G
(s) de G . On a vu en [II] 1.10 que l’on pouvait choisir comme données
auxiliaires pour G
(s) le groupe G
(s) 1 = G
(s), le tore C(s) 1 = {1} et un plongement ˆ
ξ(s) 1 : G
(s) →
L G
(s) de la forme (x, w) → (xχ(w), w) où χ est un cocycle
de W F dans Z( ˆ
M ). On doit fixer de plus un facteur de transfert Δ(s). On a une
projection ˆ
q s : ˆ
G
(s) → ˆ
G
(s) qui est équivariante pour les actions galoisiennes.
Définissons ˆ
ξ (s) 1 : G
(s) →
L G
(s) par ˆ
ξ (s) 1 (x, w) = (xˆ q s (χ(w)), w). Alors les
données G
(s) 1 = G
(s), C (s) 1 = {1} et ˆ
ξ (s) 1 sont des données auxiliaires pour
G
(s). Notons q s : G
(s) → G
(s) un homomorphisme dual de ˆ
q s . Pour deux
éléments assez réguliers δ ∈ G
(s)(F ) et γ ∈ G (F ) qui se correspondent, posons
Δ (s)(δ, γ) = Δ(s)(q s (δ), q(γ)). On vérifie que Δ (s) est un facteur de transfert.
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Il est clair que J ∈ J
G
(s)
M
(B) si et seulement si J ∈ J
G
(s)
M
(B). Les considérations
qui précèdent transforment l’expression ci-dessus en
ρ
G
J (δ , a ) −
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1,J∈J
G
(s)
M
(B)
i M (G , G
(s))σ
G
(s)
J
(δ , a )
ce qui n’est autre que σ
G
J (δ , a ). Cela prouve X = 0 et le lemme.
III.3.7 Revêtement et germes stables
On conserve les mêmes hypothèses. Soit M un Levi de G.
Proposition.
(i) Pour δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez voisin de l’origine,
on a l’égalité
Sg
G
M,unip (ι
∗
M,M (δ ), B) = ι
∗
G,G (Sg
G
M,unip (δ , B)).
(ii) Pour δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez voisin de l’origine, on a
l’égalité
Sg
G
M,unip (δ, B) = Sg
G
M,unip (δ
, B),
où δ
= ι
∗
M,M ◦ ι
∗
M,M (δ).
Preuve. Posons δ = ι
∗
M,M (δ ). On utilise la définition de [II] 2.4(1) :
(1)
Sg
G
M,unip (δ, B) = g
G
M,unip (δ, B) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i M (G, G
(s))
transfert(Sg
G
(s)
M,unip (δ, B)).
Fixons s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF avec s = 1. Comme on l’a dit dans la preuve précédente, on a à la fois une donnée endoscopique G
(s) de G et une donnée endoscopique G
(s) de G . On a vu en [II] 1.10 que l’on pouvait choisir comme données
auxiliaires pour G
(s) le groupe G
(s) 1 = G
(s), le tore C(s) 1 = {1} et un plongement ˆ
ξ(s) 1 : G
(s) →
L G
(s) de la forme (x, w) → (xχ(w), w) où χ est un cocycle
de W F dans Z( ˆ
M ). On doit fixer de plus un facteur de transfert Δ(s). On a une
projection ˆ
q s : ˆ
G
(s) → ˆ
G
(s) qui est équivariante pour les actions galoisiennes.
Définissons ˆ
ξ (s) 1 : G
(s) →
L G
(s) par ˆ
ξ (s) 1 (x, w) = (xˆ q s (χ(w)), w). Alors les
données G
(s) 1 = G
(s), C (s) 1 = {1} et ˆ
ξ (s) 1 sont des données auxiliaires pour
G
(s). Notons q s : G
(s) → G
(s) un homomorphisme dual de ˆ
q s . Pour deux
éléments assez réguliers δ ∈ G
(s)(F ) et γ ∈ G (F ) qui se correspondent, posons
Δ (s)(δ, γ) = Δ(s)(q s (δ), q(γ)). On vérifie que Δ (s) est un facteur de transfert.