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Chapitre III. Réductions et preuves
endoscopique G
(s) de G et une donnée endoscopique G
(s) de G . On a une suite
exacte
1 → ˆ
Ξ → ˆ
G
(s) → ˆ
Z × ˆ
G
(s) → 1.
Dualement, on a une suite exacte
1 → Ξ → Z × G
(s)
qs
→ G
(s) → 1.
C’est bien le groupe Ξ qui intervient ici. En effet, Z × G
(s) a pour Levi M =
Z × M , tandis que G
(s) a pour Levi M . L’homomorphisme q s se restreint en
l’homomorphisme de départ M → M , dont le noyau est Ξ . Montrons que l’on a
l’égalité
(1)
i M (G, G
(s)) = i M (G , G
(s)).
Puisque A Z ⊕A G (s) = A G (s) et A Z ⊕A G = A G , les données G
(s) et G
(s) sont
simultanément elliptiques ou non. Si elles ne le sont pas, les deux termes ci-dessus
sont nuls. Supposons qu’elles soient elliptiques. Le même argument que ci-dessus
fournit l’isomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF = Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF .
Le terme i M (G, G
(s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF .
Le terme i M (G , G
(s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G )
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF .
Ces homomorphismes s’identifient et (1) en résulte.
Soient δ ∈ D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et a ∈ A M (F ) en position
générale et proche de 1. Posons δ = ι
∗
M,M (δ ) et a = q(a ). Posons
X = σ
G
J (δ, a) − ι
∗
M,M (σ
G
J (δ , a )).
L’assertion de l’énoncé est que X = 0. On a
σ
G
J (δ, a) = ρ
G
J (δ, a) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1,J∈J
G (s)
M
(B)
i M (G, G
(s))σ
G
(s)
J
(δ, a).
On peut appliquer au premier terme la propriété 3.2(2). Par récurrence, on peut
appliquer le présent lemme aux autres termes. On obtient que σ
G
J (δ, a) est l’image
par ι
∗
M,M de
ρ
G
J (δ , a ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1,J∈J
G (s)
M
(B)
i M (G, G
(s))σ
G
(s)
J
(δ , a ).