III.3. Passage à un revêtement
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avec des définitions évidentes de ces espaces. On a dualement des applications
linéaires
ι
∗
G,G : D
st
g´ eom (V ) → D
st
g´ eom (V )
et
ι
∗
G,G : D
st
g´ eom (V ) → D
st
g´ eom (V ).
La description de 3.1 se simplifie pour les distributions stables : une distribution
stable sur V est forcément invariante par l’action du groupe adjoint G ,AD (F ), a
fortiori par celle de G(F ). Il en résulte que ι
∗
G,G est injective et a pour image le
sous-espace des éléments de D
st
g´ eom (V ) à support dans q(V ). En particulier, cette
application se restreint en un isomorphisme
ι
∗
G,G : D
st
unip (G (F )) D
st
unip (G(F )).
On peut aussi tensoriser les applications ci-dessus par des espaces de mesures.
III.3.6 Les termes σ J
On suppose G quasi-déployé et a = 1. On suppose fixée une fonction B comme en
[II] 1.8. Soit M un Levi de G. L’assertion suivante est similaire à 3.2(2).
Lemme. Pour tout J ∈ J
G
M (B), le diagramme suivant est commutatif
D
st
unip (M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ σ
G
J
→ U J ⊗ (D unip (M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G
↑ ι
∗
M,M
↑ ι
∗
M,M
D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
σ
G
J
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G .
Remarque. Ainsi qu’on l’a dit ci-dessus, les applications verticales sont des isomorphismes.
Preuve. Dualement à la suite exacte
1 → Ξ → Z × G → G → 1
on a une suite exacte
1 → ˆ
Ξ → ˆ
G → ˆ
Z × ˆ
G → 1,
où ˆ
Ξ est un certain sous-groupe fini central. On a les isomorphismes
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
Z( ˆ
M ad )
ΓF
Z( ˆ
M ,ad )
ΓF
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G )
ΓF .
En effet, les deux flèches extrêmes sont bijectives car les groupes Z( ˆ
M ad )
ΓF et
Z( ˆ
M ,ad )
ΓF sont connexes. Celle du milieu est bijective car l’égalité ˆ
G AD = ˆ
G ,AD
entraîne ˆ
M ad = ˆ
M ,ad . Ainsi, pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , on a à la fois une donnée