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Chapitre III. Réductions et preuves
Preuve. Notons O la classe de conjugaison stable de t dans G (F ) et O celle de
t dans G(F ). Il est clair que q(O ) ⊂ O. Montrons que
(1) la restriction de q à O est une bijection de O sur O.
Par hypothèse sur V , on a O ⊂ V et on sait que q est injective sur V , a
fortiori sur O . Soit t
∈ O. On peut fixer x ∈ G tel que x
−1 tx = t
. Soit x ∈ G
ayant même image que x dans G AD = G ,AD . Pour tout σ ∈ Γ F , on a la relation
xσ(x)
−1
∈ T , donc x σ(x )
−1
∈ T . Il en résulte que l’élément t
= x
−1
t x
appartient à O . Et on a t
= q(t
). D’où la surjectivité, ce qui prouve (1).
Fixons un ensemble de représentants ˙
X des classes de conjugaison par G(F )
dans O. Pour tout x ∈ ˙
X , fixons un ensemble de représentants ˙
X x des classes de
conjugaison par G (F ) dans l’image réciproque par q de la classe de conjugaison
par G(F ) de x. Posons ˙
X = x∈ ˙
X
˙
X x . C’est un ensemble de représentants des
classes de conjugaison par G (F ) dans O . Par définition, on a l’égalité
S
G (t , .) =
x∈ ˙
X
I
G (x , .) =
x∈ ˙
X
x∈ ˙
Xx
I
G (x , .).
On applique le lemme 3.1(i). Par l’application ι
∗
G,G , la dernière intégrale I
G (x , .)
s’envoie sur c
−1
Tx I
G (x, .), où T x est le commutant de x dans G. Donc
ι
∗
G,G (S
G (t , .)) =
x∈ ˙
X
c
−1
Tx | ˙
X x |I
G (x, .).
La classe de conjugaison de x par G(F ) s’identifie à T x (F )\G(F ). Donc ˙
X x est un
ensemble de représentants du quotient
T x (F )\G(F )/q(G (F )) = T x (F )\G(F )/q(G (F )).
D’où | ˙
X x | = c Tx et le membre de droite de l’égalité ci-dessus devient
x∈ ˙
X
I
G (x, .),
ce qui n’est autre que S
G (t, .). Cela prouve le (i) de l’énoncé. La preuve de (ii) est
similaire.
Il résulte de ce lemme que les applications de 3.1 se quotientent en des applications linéaires
ι G,G : SI(V ) → SI(V )
et
ι G,G : SI(V ) → SI(V ),