III.3. Passage à un revêtement
351
Pour L = G, notons X la différence entre le membre de gauche de l’énoncé et celui
de droite. On obtient
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = I
G (X, ω, f ) +
L∈L(M)
J
G
L (ι
∗
L,L ◦ g
L
M,unip (γ ), ω, f).
On applique la proposition 3.3 au membre de gauche et aux termes de la somme
de droite. On obtient
I
G (X, ω, f )
= |U|
−1
u∈U
⎛
⎝ J
G
M (γ , (
u f ) ,
u K ) −
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,unip (γ ),
u f G ,
u K )
⎞
⎠ .
Bien que les intégrales orbitales pondérées dépendent du choix d’un sous-groupe
compact spécial, les germes n’en dépendent pas. Cela résulte aisément des formules de passage entre intégrales orbitales pondérées relatives à différents choix
de sous-groupes compacts (et c’est ce qui permet aux germes pour les intégrales
orbitales pondérées non ω-équivariantes d’être aussi les germes pour leurs avatars
ω-équivariants). Donc tous les termes de la somme en u sont nuls. Donc aussi le
membre de gauche, c’est-à-dire X = 0. Cela prouve le (i) de la proposition.
Il est clair que les germes sont insensibles aux centres, c’est-à-dire que l’on a
l’égalité g
G
M,unip (zγ) = g
G
M,unip (γ) pour tout
γ ∈ D g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et z ∈ Z(F ), pourvu que z et le support de γ soient assez proches de 1. L’assertion
(ii) résulte alors de (i) et de la description explicite donnée en 3.1 de l’application
ι
∗
M,M .
Variante. Supposons ω = 1 et soit B une fonction comme en [II].1.8. La même
proposition vaut pour les germes g
G
M,unip (., B) et g
G
M,unip (., B).
III.3.5 Revêtement et stabilité
On suppose que G est quasi-déployé et que a = 1. On suppose que le voisinage V
utilisé en 3.1 est invariant par conjugaison stable (si x ∈ V est fortement régulier
et si y est stablement conjugué à x, alors y ∈ V ). Notons qu’il existe de tels
voisinages vérifiant de plus notre condition V ∩ ξV = ∅ pour tout ξ ∈ Ξ(F ) − {1}
puisqu’un tel ξ n’est pas stablement conjugué à 1. On a un analogue du lemme
3.1 pour les intégrales orbitales stables. Reprenons les hypothèses de ce lemme.
Lemme. Soient t ∈ T (F ) ∩ V et z ∈ Z(F ). Posons t = q(t ) et supposons
t ∈ G reg (F ). Alors
(i) l’image de S
G (t , .) par l’application ι
∗
G,G est S
G (t, .) ;
(ii) l’image de S
G (zt, .) par l’application ι
∗
G,G est S
G (t , .).
351
Pour L = G, notons X la différence entre le membre de gauche de l’énoncé et celui
de droite. On obtient
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = I
G (X, ω, f ) +
L∈L(M)
J
G
L (ι
∗
L,L ◦ g
L
M,unip (γ ), ω, f).
On applique la proposition 3.3 au membre de gauche et aux termes de la somme
de droite. On obtient
I
G (X, ω, f )
= |U|
−1
u∈U
⎛
⎝ J
G
M (γ , (
u f ) ,
u K ) −
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,unip (γ ),
u f G ,
u K )
⎞
⎠ .
Bien que les intégrales orbitales pondérées dépendent du choix d’un sous-groupe
compact spécial, les germes n’en dépendent pas. Cela résulte aisément des formules de passage entre intégrales orbitales pondérées relatives à différents choix
de sous-groupes compacts (et c’est ce qui permet aux germes pour les intégrales
orbitales pondérées non ω-équivariantes d’être aussi les germes pour leurs avatars
ω-équivariants). Donc tous les termes de la somme en u sont nuls. Donc aussi le
membre de gauche, c’est-à-dire X = 0. Cela prouve le (i) de la proposition.
Il est clair que les germes sont insensibles aux centres, c’est-à-dire que l’on a
l’égalité g
G
M,unip (zγ) = g
G
M,unip (γ) pour tout
γ ∈ D g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et z ∈ Z(F ), pourvu que z et le support de γ soient assez proches de 1. L’assertion
(ii) résulte alors de (i) et de la description explicite donnée en 3.1 de l’application
ι
∗
M,M .
Variante. Supposons ω = 1 et soit B une fonction comme en [II].1.8. La même
proposition vaut pour les germes g
G
M,unip (., B) et g
G
M,unip (., B).
III.3.5 Revêtement et stabilité
On suppose que G est quasi-déployé et que a = 1. On suppose que le voisinage V
utilisé en 3.1 est invariant par conjugaison stable (si x ∈ V est fortement régulier
et si y est stablement conjugué à x, alors y ∈ V ). Notons qu’il existe de tels
voisinages vérifiant de plus notre condition V ∩ ξV = ∅ pour tout ξ ∈ Ξ(F ) − {1}
puisqu’un tel ξ n’est pas stablement conjugué à 1. On a un analogue du lemme
3.1 pour les intégrales orbitales stables. Reprenons les hypothèses de ce lemme.
Lemme. Soient t ∈ T (F ) ∩ V et z ∈ Z(F ). Posons t = q(t ) et supposons
t ∈ G reg (F ). Alors
(i) l’image de S
G (t , .) par l’application ι
∗
G,G est S
G (t, .) ;
(ii) l’image de S
G (zt, .) par l’application ι
∗
G,G est S
G (t , .).